Corrigé Bac ES Maths (spé)

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CORRECTION BAC ES spécialité–24 Juin 2015

Exercice 1 :

Partie A :

1.

2.pFRpFpR0, 420, 650, 273
F

p Rp FRp FR  
3.    0, 273 0, 5340, 58 0, 45

Partie B :

1. Il faut calculer grâce à la calculatricepX36p36X 
Exemple sur un modèle CASIO :

On peut aussi utiliser la formule :pX36p36X480, 50, 38550,885

 
p36X600, 770
2. Il faut calculerpX60  0,870
X36
pX360,885

Partie C :

1. L ’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, étudiée en terminale, de la fréquence des personnes
ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taillen = 1500est :
 
0, 310, 30, 310, 3
0, 31, 96 ; 0, 31, 96 324; 0, 0, 276
 
1500 1500
 
La borne inférieure a été arrondie par défaut et la borne supérieure par excès.

Remarque : les conditionsn30 ,np15000, 34505et n1p15000, 710505sont remplies.

2.
La fréquence observée des personnes ayant acheté uniquement des accessoiresdans l ’échantillonde taille 1500 est :
430
f 0, 287
1500

0, 2870, 276; 0, 324donc on ne rejetteformulée par le gérant’ hypothèse pas l au seuil de risque 5%.
Exercice 2 :

Partie A :

1. a. Le graphe est connexe car il existe toujours une chaîne qui relie 2 sommets quelconques.

1. b. Le graphe admet une chaîne eulérienne car tous les degrés sont pairs. La chaîne sera donc fermée. On peut donc
dire que le graphe admet des cycles eulériens.

Sommet A B C D E F G H
degré 2 4 2 2 4 4 2 4

ième ième
2. Le nombre de chemins est 5 : il faut’ intersection entre la 5regarder l ligne et la 2 colonne.

Partie B :

1. a. Oui car le graphe est connexe et d ’après le théorème d ’Euler, il existe des cycles eulériens car tous les degrés
des sommets sont pairs.
Un exemple d ’itinéraire est: ABFCEFHBGHEDA.

1. b. Oui d ’après la question 2 de la partie A: 5 chemins

2. L ’itinéraire le plus court est ABFH de longueur 32 kms.

A B C D E F G H Sommet
O(A)∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ A
12(A)∞ 14(A)∞ ∞ ∞ ∞ B
∞ 14(A)∞28(B) 33(B) D 21(B)
∞21(B) 28(B) 33(B) F 24(D)
31(F) 37(F) 28(B) 32(F) E
24(D)
37(E) 28(B) 34(E) G
31(F) 32(F)
31(F) 39(G) C
32(F)
32(F) H

Exercice 3 :

Partie A :

1.a.f'30: tangente horizontale

6
1. b.f02et f'0  3
2

xxx
2. a.f'x01exbee1xb

0
2. b.f'0 3f'0e10b 31b 3
0
f02f0a0be2ab2

2. c.1b 3b4
ab2a2ba 2

Partie B :

x
1.fx 2x4e
xxxx
Doncf'x01ex4ee1x4ex3

x 4 3 3

x3 0

e^(x)

f’(x) 0

3 3x 4

f'(x) 0

18,09

f(x)

2 1,65

2.
f(3)18, 09

f3 1, 65
La fonction f est continue et strictement décroissante sur [-3 ; 3]. 0 est une valeur intermédiaire entre f(-3) et f(3).
Donc d ’après le théorème des valeurs intermédiaires, l ’équationfx0admet une unique solutionαdans
l ’intervalle [-3 ; 3].
D ’après la calculatrice,0,90

0
3.a. Il faut calculerf(x)dxcar la fonctionf est positive sur l ’intervalle [-3 ; 0]

3
x
3. b. Grâce à ces résultats, on peut en déduire que la fonctionFdéfinie parFx 2xx5eest la primitive
de la fonctionfcarF'xfx.
0
3 3 3
f(x)dxF0F3 562e 562e 112e29,17

3

Exercice 4 :

f(x)3x3xlnx
1
Doncf'x33lnx3x 33lnx3 3lnx
 
x
L ’équation de la tangente au point d ’abscisse 1 a pour équationyf'1x1f1
Donc T :y0x133

La première idée est d ’étudier le signe defxy3x3xlnx3
Cette étude de signe est très complexe.

La deuxième idée est de dresser le tableau de variation pour avoir une visualisation de la courbe de la fonction.

x 0 1 +

3

lnx 0

f’(x) 0

x 0 1 +

f'(x) 0

3

f(x)

0 

On remarque que le maximum de la fonction est 3.
La courbe de la fonction est donc sous la tangente horizontale T ( en pointillé sur le graphique ci-dessous ) ; la
courbecoupe la tangente au point d ’abscisse 1.

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