Corrigé BAC ES 2014 Mathématiques - Spécialité
5
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Français
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2015
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1) D'après l'arbre ci-contre : p A( B)=0 ,7 .
Donc réponse : c).
2) p ( B)=0 , 6×0 , 3+0, 4×0 , 2=0 , 26 .
Donc réponse : c).
3) F est la primitive de f ses variations dépendent
donc du signe de f . Comme f est négative sur
[ 4;12] , F est décroissante sur le même intervalle. Donc réponse : c).
4) Sur ]0 ;+∞[ : ln ( x)+ln ( x+3)=3 ln (2) ⇔ p( X >30)=p ( X ∈[30 ;60])=
60−30
60−20
=
30
40
=
3
4 ⇔
ln ( x2+3 x )=ln (8) ⇔ x2+3 x=8 . Donc réponse d).
5) L'aire, en unités d'aire est égale à ∫2
6 5
x
d x=[5 ln ( x)]2
6 =5 ln (6)−5ln (2) .
Donc réponse : a).
Exercice 2 (5 points)
1) a)
b) M=(0,9 0,1
0,4 0,6) .
c) On a supposé qu'au premier lancer, Alice a autant de chances d'atteindre la cible que
de la manquer donc a1=b1=0 ,5 d'où P1=(0,5 0,5) .
Par suite P2=P1×M =(0,65 0,35) .
BACCALAURÉAT
Série :
ES
Épreuve :Mathématiques
(spécialité)
Session 2014
Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficient : 7
PROPOSITION DE CORRIGÉ
1
Exercice 1(5 points)
1
2
3
)
)
)
4
)
5
)
B=0 ,
D'après l'arbre ci-contre :pA7.
( )
Donc réponse :c).
p B=0 , 6×0 , 3+0, 4×0 , 2=0 , 26.
( )
Donc réponse :c).
Fest la primitive defsesvariationsdépendent
donc dusignedef. Commefestnégativesur
4; 12,Festdécroissantesur le même intervalle. Donc réponse :c).
[ ]
60−30 30 3
( )
p X>30=p(X∈[30 ; 60])== =
Sur 0;+∞: ln(x+lnx+3=23 ln⇔ 60−20 40 4 ⇔
] [)) () (
2 2
lnx+3x=ln 8⇔ x+3x=8 . Donc réponsed).
( )( )
56
6
∫
L'aire, en unités d'aire est égale àdx=5 lnx2=65 ln−5ln 2 .
[( )]( )( )
2
x
Donc réponse :a).
Exercice 2(5 points)
1
2
)
)
a)
0,9
b)M=
(
0,4
0,1
.
)
0,6
0,9
0,1
0,4
0,6
c) On a supposé qu'au premier lancer, Alice a autant de chances d'atteindre la cible que
a=b
( )
de la manquer donc1 1=0 ,5d'oùP=0,5 0,5.
1
Par suiteP=P×M=0,65
(
2 1
0,35 .
)
a) On aP=P×Mdonc(a
n+1nn+1
(a
b+1)=n
n
a=0 , 9a+0, 4b
On obtient bien :+1n n.
n
0,9
b)
(
n
0,4
0,1
.
)
0,6
b) Par définition,a+b=1 (Alicene peut qu'atteindre ou manquer sa cible!).
n n
a, 9a+0, 4b−1=0
Doncn+1=0n(n), 9a+0, 4−0 , 4a=0 , 5a+.0 , 4
n nn
2
60−30 30 3
p X>30=p(X∈[30 ; 60])= ==.
( )
60−20 40 4
précédente.
Exercice 3(5 points)
Donc à long terme, Alice a une probabilité de 0,8 d'atteindre la cible.
lima=0, 8.
n
n→+∞
d) D'après le cours, l'état stablePd'un graphe probabiliste s'obtient en résolvant
u=a−0 , 8=0 , 5−0 , 8=−0 , 3.
1 1
x=0,9x+0,4yx=0,8
système .On trouve. On retrouve donc bien la réponse
{{
x+y=1y=0,2
3
nn
c) Comme−1<0 ,5<1,lim 0, 5=0donclim 3×0 ,8=0et par suite
( )( )
n→+∞n→+∞
0
l'équation matricielleX=X×M. Résoudre cette équation revient à résoudre le
a)
)
3
0,7872
0,4
0,5
b) Lorsquen=5 , on obtient :
n−1n−1
b) Par formule,un=u1q=−0, 3×0 ,5
)
5
C'est à dire :a≈et0, 7872b≈0 , 2188.
55
u=a−0 ,8=0 , 5a−0 ,8=0, 5u
a)n+1n+=0 ,5a+0 , 4−0, 8=0, 5a−0 , 4(n)n.
1n n
Par suite,(u)est bien une suite géométrique de raisonq=et de premier terme0 , 5
n
)
4
Partie A
)
1
0,2188
n−1
et par suite :an=un+0 , 8=0 , 8−0 , 3×.0 , 5
2
)
60+20 80
E X== =40 . En moyenne, son entraînement dure donc 40 minutes.
( )
2 2
Partie B
1
2
3
)
)
)
p p(D<57)=0, 5
Comme 57 mm correspond à l'espérance de la loi normale :1=.
(On peut retrouver ce résultat à la calculatrice.)
p=p56 , 75<D<57 , 25≈d'après la calculatrice.0 ,977
( )
2
p=1−p≈.0 , 023
3 2
Partie C
1
2
)
)
66
f= =0 , 825.
80
1 1
Par formule :I=f−;f+ =[0 , 713; 0, 937].
[ ]
√n√n
Exercice 4
Partie A
1) Parlecture graphique : la concentration à l'instant initial (0 heure) est de2 g/L.
2) Parlecture graphique, la concentration est supérieure ou égale à 0,4 g/L entre 0 et 6
heures.
Partie B
−0 ,5x−0 ,5x−0 ,5x
1)f' x=1×e+x+2−0 , 5 e=e 1−0 , 5x+2
( )( )( )(( ))
−0 , 5x−0 ,5x
= e1−0 , 5x−1=−0, 5xe .
( )
D'où le tableau de variations def:
x
signe de -0,5x
−0 , 5x
Signe dee
Signe def '
Variations def
0
2
−
+
−
1
5
f15
( )
−0 ,5×0−0 ,5×15−3
oùf0=2 e=2×1=2 etf15=17 e≈9 , 4×10 .
( )( )
fest donc strictement décroissante sur0 ; 15.
[ ]
4
2
x
signe de
0 , 25x−0 , 5
)
2
admet bien une unique solution sur0 ; 15.
[ ]
Pour étudier la convexité defil nous faut donc étudier le signe de'f ':
f '' xchange de signe en 2 doncfadmet un point d'inflexion d'abscisse 2.
( )
0
−
0
+
−
D'après la calculatrice :
◦f9≈0 , 12>0 , 1etf10≈0 , 08<0 , 1doncα∈9 ; 10.
( )( )] [
+
+
signe de' xf '
( )
f0=2>0 ,1etf, aleurs15 0
( )( )≈009<0 , 1. Donc d'après la propriété des v
+
5
intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone, l'équationf x=0 ,1
( )
Sur l'intervalle0 ; 15, la fonctionfest continue et strictement décroissante avec
[ ]
1
5
2
)
D'après la partie B,fα =0 , 1avecα∈9 , 4 ; 9 , 5donc le médicament n'est plus
[ ]
( )
)
3
4
◦puisf9 , 4≈0 , 104>et0 , 1f9 ,5≈0 , 099<donc0 ,1α∈9 , 4 ; 9 , 5.
( )( )] [
)
0
)
1
Partie C
−0 , 5x
signe dee
Ainsif(est concave sur0 ; 2f ''<0 ) et convexe sur2 ; 15(f ''>0 ).
[ ][ ]
au bout de 2 heures.
−0, 5x
D'après les résultats affichés,fx' '=0 , 25x−e0 , 5.
( )( )
La baisse de concentration ralentie lorsque la courbe change de concavité, c'est à dire
lorsquex=2d'après la partie B, on obtient donc : la baisse de concentration ralentie
actif à partir deαheures. Il est donc actif entre 0 etαheures.
Plus concrètement,le médicament est actif pendant un peu moins de 9,5 heures.
