Corrigé BAC 2015 Mathématiques - Série S - Spécialité
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EXERCICE 1:
PARTIE 1 :
ELEMENTS de CORRECTION
BACCALAUREAT MATHEMATIQUES FILIERE S
(SPËCIALISTES)
ANNEE 2015
ௗ
ௗ
−? −ௗ − − −ௗ
1) a)ܺ݀=ሻ(ܲܿሺ=??݁)݀ݔ݁(݁=݁)=݁
−
LNሺ,ହሻ
−ଶ
b)⇔ͷ݁Ͳ=Ͳ,ʹ>ሻͲܲܺሺ⇔?=Ͳ,Ͳͷ=,Ͳ≈ͻͶͳ,Ͳ=ͳͷ
−ଶ
ଵ
c)ܧܺ = ≈ ,
,ଵହ
−ଵ×,ଵହ −ଶ×,ଵହ
d) ݁ ܲሺͳͲ ܺ ʹͲሻ =݁ ≈ Ͳ,ͳ͵
−ଵ଼×,ଵହ
e)ሺܲ>ܺͺͳ=ሻ݁ͲͲ,≈
2) a)ሻͳʹܻͲʹܲሺͷͳͲ,Ͳ≈à la calculatrice.
b)<ͳሺܻתሺͳሻʹͳܻ>ܲ(ሻͳͳ<ܻሺܲሻሻͳʹ>ሺܲ=)ܲሺ(ሻܻሺ<ܻͳͳ>ܻͳʹ)ሻ
≈ Ͳ,ͲͲͷ Ͳ,ͲͲͷ Ͳ ≈ Ͳ,Ͳͳ
PARTIE 2 :
1)ܲͳͲ,ͲͲͳͷ,Ͳ=ͲͲሻ͵ܼሺ≈ Ͳ,Ͳʹͷ oùܼ la valeur d’un bon d’achat et ? l’évènement bon
d’achat Rouge. De même ? sera l’évènement bon d’achat vert.
2) ሻ=͵Ͳሺܼܲ(Ͳת͵ሺ?ሻͲ͵ܼ)ሻ?תሺ(ܲ=Ͳ͵ܼ?ת)ሻܼͲ͵ܲሺ(?ת)ሻሺܼܲ
=Ͳ,Ͳʹͷ × Ͳ,ʹͷ Ͳ,Ͳ × Ͳ,ͷ ≈ Ͳ,Ͳͷͷ ≈ Ͳ,Ͳͷ
3) ,ͲͷͲ>;ͷ݊;=?Ͳʹ×Ͳ͵ͲͲʹͲ݊=݊ሺͳ?ሻ>ͷdonc on a pour intervalle de
fluctuation au seuil de 95% :
Ͳ,Ͳͷሺͳ Ͳ,Ͳͷሻ Ͳ,Ͳͷሺͳ Ͳ,Ͳͷሻ
ܫ =[Ͳ,Ͳͷ ͳ,ͻ × ; Ͳ,Ͳͷ ͳ,ͻ × ] ≈ Ͳ,ͲʹͶͺ; Ͳ,Ͳͺͻͳ
√ʹͲͲ √ʹͲͲ
or=Ͳ,Ͳ͵est dansܫdonc à 95% de chances la répartition est respectée.
ଶ
EXERCICE 2:
ʹ
⃗⃗⃗⃗⃗
1) a)ሺܣܤሻa pour directionܣܤ Ͳdonc ሺܣܤሻ est parallèle à l’axe ሺܱܫሻ
Ͳ
Ͳ ݔ =ͳͳ
⃗⃗⃗⃗⃗
b)ܥܦ Ͷdirigeሺܥܦሻ. Une équation paramétrique deሺܥܦሻest :{ ݕ =Ͷ?où? est réel, et une
͵ݖ=͵?ͳ
équation d’un plan ?contenantሺܥܦሻet parallèle àሺܱܬܭሻestݔ =ͳͳ.
ݔ=ʹ?
c) Une équation deሺܣܤሻest{ݕ =ͳoù? est réel.ሺܣܤሻétant orthogonale à?, elle ne peut être
ݖ=ͷ
incluse dedans, sitôt, son intersection avec ce plan est réduite à un point. On vérifie aisément que
∈ ሺܣܤሻ, puisque ses coordonnées vérifient l’équation, puis que ܧ ∈ ?donc? ת ሺܣܤሻ =ܧ
ଵଵ
? =
ͳͳ =ʹ?ଶ
ଵ
d){ ͳ ∈ ሺܣܤሻ ת ሺܥܦሻ ⇔ ܯሺݔ; ݕ; ݖሻ =Ͷ? ⇔ impossible. elles ne sont donc pas
?=
ସ
ͷ=͵?ͳ
sécantes.
ଶ ଶ ଶ
2) a)ܯ?ܰ?² =ሺͳͳ ݐሻ =ʹݐ² ʹͷ,ʹݐ ͳ͵ͺ ሺͳ Ͳ,ݐ ͷሻ ሺͲ,ͺݐ ͳሻ
ଶହ,ଶ
b)ܯ?ܰ?²est du second degré donc le minimum est atteint pourݐ = =,͵ݏ
ଶ×ଶ
EXERCICE 3: SPECIALITE
1) a)ͳͲ=×͵ͳʹʹ×ͷ=Ͷdonc le coupleሺ͵; Ͷሻest solution deሺܧሻ
b) On a, si le coupleሺݔ; ݕሻest solution deሺܧሻ:ݔ ͷݕ = × ͵ ͷ × Ͷ ⇔ ሺݔ ͵ሻ =ͷሺͶ ݕሻ
c) De ce qui précède :qui diviseͷሺͶ ݕሻet commeͷet 7 sont premiers entre eux alors 7
diviseͶ. Il existe donc?entier relatif tel que ,??Ͷݕ⇔=ݕ=Ͷ. Et, on a du coup :
ሺݔ͵ሻ=ͷ×?⇔ݔ=ͷ?͵.
2) Il faut et suffit que la somme fasse 25 sachant queݕ?=ݔ ͷ= Ͷݐ݁?͵
? 0 1 2
ݔ=͵ݕ ݁ݐ ݕݐ ݁ݕ ݐ݁ ͺ=ݔ͵ͳ=ݔ
=Ͷ =ͳͳ =ͳͺ
Nombre deʹͷ =ͳͺ ʹͷ ͳͻ = ʹͷ ͳ͵
jetons blancsͳͺ < Ͳ
impossible
Si<? Ͳalorsݔ < Ͳimpossible et siʹ? c’est le nombre de jetons blancs qui deviendrait
négatif, ce qui est exclu, bien évidemment.
ଵ଼ ଷ ସ ଵ଼ ଷ ସ
3) On aܺሺͳ Ͳ Ͳሻ etܺଵቀ ቁ.d’autre part;ܺቁ? =ቀ On a donc au rang݊: si
ଶହ ଶହ ଶହ ଶହ ଶହ ଶହ
on est en ,Ͳ,ʹ; Ͳ,ͳʹ; ݁ݐ Ͳ,ͳ chances d’aller respectivement en ܣ c’est-à-dire de tirer un jeton
blanc,Ͳ,ͳʹ chances d’aller en ܤ ሺtirer un rougeሻ et Ͳ,ͳ d’aller en ܥ. Ceci correspond à la première
ligne de la matrice?. De même avec les lignes suivantes.
4) a) A la calculatrice on a :
ͳ Ͷ
ܲͳ͵Ͷ
ͳ ͵
−ଵ
b) Pour݊ =Ͳ,ܫ=?݀ puisܲܦ ܲ =ܫ݀ l’hypothèse est initialisée.
? ? −ଵ
A݊ ݂?ݔéon suppose,ܦܲ?ܲ=
?+ଵ ? ? −ଵ ? −ଵ −ଵ ? −ଵ ?+ଵ −ଵ
?=??=ܲܦܲ?=ܲܦܲܲܦܲ=ܲܦܦܲ=ܲܦܲ
Conclusion: pour tout݁ݏݐ?ݎܽ?.݊ ܿ
?
ͳ =ͳ Ͳ Ͳ
? ?
c)Ͳ Ͳ Ͳ, ܦ =
?
Ͳ Ͳ Ͳ,ͷ
5) a) On aܽ?=ߙ? ܾ?=ߚ?donc et ܿ?ߙ=ͳ? ߚ?
ଷ ଷ
b) limߙ?=Ͳ,͵et limߚ?=lim et ܿ?=ͳ Ͳ,͵ =Ͳ,͵ comme limite de suite
ଵଵ ଵଵ
géométrique dont les raison sont inférieures (en valeurs absolues) à 1.
c) La probabilité la plus forte est celle qui tend versܥ
EXERCICE 4:
PARTIE 1 :
?+ଵ
1) On dérive :݂ ሺݔሻ =ͳ ͵ =lnሺݔ ͳሻ ʹ.× lnሺݔ ͳሻ
?+ଵ
