Corrigé BAC 2015 Mathématiques - Série S - Spécialité
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Corrigé BAC 2015 Mathématiques - Série S - Spécialité
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EXERCICE 1: PARTIE 1 :
ELEMENTS de CORRECTION BACCALAUREAT MATHEMATIQUES FILIERE S (SPËCIALISTES) ANNEE 2015
‒ �� � � ‒ �� � ‒ �� ‒ �� ‒ �� ‒ �� ∫ �=�=‒(�� ‒ )=�� ‒ 1) a)�(� ≤ � ≤ �) =(��)�[ ]� �‒ � ln (0,05) ‒20� b)�(�> 20) =0,05⇔�=0,05⇔�= = 0,1497≈0,15 ‒20 1 c)��=≈6,676 0,15 ‒10 × 0,15‒20 × 0,15 d)�(10≤ � ≤20) =� ≈� ‒ 0,173 ‒18 × 0,15 e)�(�> 18) =� ≈0,067 2) a)�(20≤ � ≤21)≈0,015 à la calculatrice. b)�((�< 11)∪(�> 21)) =�(�< 11) +�(�> 21)‒ �((�< 11)∩(�> 21)) ≈0,005 + 0,005 + 0≈0,01 PARTIE 2 :
1)
2)
3)
( ) � � ≥0,015 + 0,01030 = ≈0,025 où�la valeur d’un bon d’achat et�l’évènement bon � d’achat Rouge. De même�sera l’évènement bon d’achat vert. ( ) (( ) ( )) (( )) (( )) � � ≥30 =≥� � 30∩ � ≥∪ � 30∩ �=≥� � 30∩ �+≥� � 30∩ � = 0,025 × 0,25 + 0,067 × 0,75≈0,0565≈0,057 ( ) �= 200≥ 30;��= 200 × 0,057 >5;�1‒ �> 5 donc on a pour intervalle de fluctuation au seuil de 95% : 0,057(1‒0,057) 0,057(1‒0,057) �= 0,057‒;0,057 + 1,96 ×1,96 × ≈[0,0248;0,0891] [ ] 200 200 6 or = 0,03 est dans�donc à 95% de chances la répartition est respectée. 200
EXERCICE 2:
2 0 1) a) (��) a pour direction��donc (��) est parallèle à l’axe (��) ( ) 0 0�= 11 4 b)��dirige (��). Une équation paramétrique de (��) est :�=4�où� est réel, et une ( ) {h 3�=3�+ 1 équation d’un plan�contenant (��) et parallèle à (���) est�= 11. �=2� �=‒1 c) Une équation de (��) est où� est réel. (��à) étant orthogonale �, elle ne peut être {h �= 5 incluse dedans, sitôt, son intersection avec ce plan est réduite à un point. On vérifie aisément que ∈(��), puisque ses coordonnées vérifient l’équation, puis que�∈ �donc� ∩(��) =�
11 11 =2� �= 2 ‒1 =4� d)�(�;�;�) ∈ (��) ∩(��)⇔ ⇔1elles ne sont donc pas sécantes. impossible. {h {h 5 =3�+ 1�=‒ 4
2)
2 2 2 a)� �² = (11‒ �(0,8) + �+ 1) + (1 + 0,6� ‒25) = �²‒25,2�+ 138 � � 25,2 b)� �² est du second degré donc le minimum est atteint pour�= =6,3� � �2 × 2
EXERCICE 3: SPECIALITE
1)
2)
3)
4)
5)
a) 7 × 3‒5 × 4 = 21‒20 = 1 donc le couple (3;4) est solution de (�) b) On a, si le couple (�;�) est solution de (�):7� ‒ 5�= 7 × 3‒5 × 4⇔7(� ‒3) = 5(‒4 +�) c) De ce qui précède : 7 qui divise 5(‒4 +�) et comme 5 et 7 sont premiers entre eux alors 7 divise‒4 . Il existe donc�entier relatif tel que ,7�=� ‒ 4⇔�=7�+ 4. Et, on a du coup : 7(� ‒3) = 5 ×7�⇔�=5�+ 3. Il faut et suffit que la somme fasse 25 sachant que�=7�+ 4�� �=5�+ 3 �0 1 2 �=3 �� �= 4�= 8�� �= 11�=13 �� �= 18 25‒13‒18 <0 Nombre de 25‒257 = 18 ‒19 = 6 impossible jetons blancs Si�< 0 alors�< 0 impossible et si� ≥2 c’est le nombre de jetons blancs qui deviendrait négatif, ce qui est exclu, bien évidemment. 18 3 4 18 3 4 0 On a�1 0 ) et�On a donc au rapart ; . d’autre ( ng�: si on 0 1(25 25 25)� �=(5 25 25) 02 est en ,0,72;0,12;�� 0,16chances d’aller respectivement en�c’est-à-dire de tirer un jeton
blanc, 0,12 chances d’aller en�(tirer un rouge) et 0,16 d’aller en�. Ceci correspond à la première ligne de la matrice�. De même avec les lignes suivantes. a) A la calculatrice on a : 1 7 4 �1‒3 4 ( ) 1‒3‒7 0 0‒1 b) Pour�= 0,�=�� puis�� �=��l’hypothèse est initialisée. � � ‒1 A����é on suppose,�=�� � �+ 1� � ‒1� ‒1‒1� ‒1�+ 1‒1 �=� �=�� � �=����� � =�� ��=�� � ' Conclusion: pour tout�� �������. � 1 = 1 0 0 � � c)�= 0 0,6 0 (�) 0 0 0,56 a) On a�=��=� et donc�= 1‒ � ‒ � � � � � � � � 37 37 b) lim�= 0,3 et lim�= et lim�= 1‒0,3‒comme limite de suite géométrique= 0,36 � �110�110 dont les raison sont inférieures (en valeurs absolues) à 1. c) La probabilité la plus forte est celle qui tend vers�
EXERCICE 4: PARTIE 1 :
�+ 1 ' 1) On dérive :�(�) = 1 × ln (�+ 1) +‒3 = ln (�+ 1)‒2. �+ 1 ' 2 2 ' 2 2)�(�)‒≥ 0⇔� ≥ � 1 donc pour� ∈[0;� ‒1],�(�)≤0 donc�décroît sur [0;� ‒1] 2 ' 2 et sur[� ‒1;20]�(�)≥0 donc�croît sur[� ‒1;20]. ' 3)�(0) =‒2 2 3� ' ∫ ∫�(�)��=∫�(�)� 3�+7 ��=�(�)‒+7�ne primitive de�sur [0 4) On a�+‒;20]est u 2 PARTIE2 : 2 1) P1 :on fait�(20)‒ �(� ‒1)≈8,32 > 8 donc c’est vrai.
2)
3)
' P2 :|�'(0)et| = 2 �(20) = 1,044 donc c’est vrai. ' ' ' Faces����et�� � �: 2 2 3�20 20 20 2 ×∫ �(�)��= 2[�(�)‒+7�= 2�(20)‒+ 7 × 203 × ‒ �(0) = 202,63�² 02]0(2) ' ' Soit 40,52 litres de peinture environ, auxquels on ajoute ceux des faces�� � �: 10 ×�et pour(20) = 109,34 soit 21,86 litres de peinture ���'�: 10 ×�(0) = 70 soit 14 litres. Du coup on a 76,38 soit 77 litres. a) Comme le repère est orthonormé, d’après le théorème de Pythagore appliqué à chaque triangle rectangle d’hypoténuse[� �]pour�variant de 0 à 19 : � �+ 1 2 2 2 � �² = (�(�)‒ �(�+ (+ 1)) �+ 1‒ �1 + () = �(�+ 1)‒ �(�:)) d’où � �+ 1 2 � �= 1 + (�(�+ 1)‒ �(�)) � �+ 1
b) On complète l’algorithme par : S prend la valeur 0 Pour K variant de 0 à 19 2 S prend la valeur S+10* 1 + (�(�+ 1)‒ �(�)) Et on affiche S.
