BACS-mathematiquesspecialite-corrige-2016

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Session 2016

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Épreuve :CMliaqtuheézmicait ipqouuerstaper du
(spétceiaxltiet.é )

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4 heures
Durée de l’épreuve :Cliquez ici pour taper du texte.
9
Coefficient :Cliquez ici pour taper du texte.

PROPOSITION DE CORRIGÉ

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autorisation.

1

1

Exercice 1

Partie A
¯
Attention à une confusion possible entreSetS!
1) On applique la formule des probabilités totales :

On en déduit :

2) On demande :

¯ ¯¯
p(S) =p(S∩A) +p(S∩B)
¯ ¯
=pA(S)×p(A) +pB(S)×p(B)
= 0,20×0,40+ 0,05×0,60
= 0,08+ 0,03
= 0,11.

¯
p(S) = 1−p(S) = 0,89.

p(A∩S)
pS(A) =.
p(S)

¯
Reste à calculerp(A∩S): On peut utiliser les probabilités totales :p(A∩S) +p(A∩S) =p(A):

Ainsi :

¯
p(A∩S) =p(A)−p(A∩S)
= 0,40−0,08 (calculé au 1)
= 0,32.

0,32
pS(A) =
p(S)
0,32
=
0,89
≈0,36.

La probabilité demandée est donc36% .
Partie B
On vérifie quen!30 (icin=400),n f!5(icin f=368) etn f(1−f)!5(icin f(1−f)≈29).
1 1
1) On calcule√0= =,05.
n20

On en déduit quep∈[0,87; 0,97]au taux de confiance de 95%.

2) Ici l’amplitude est 0,97−0,87= 0,10.
! "
1 1
On souhaite que l’amplitude def− √;f+√soit à présent0,02.
n n
1
Pour cela, on résoud :√= 0,01⇔n=10000 .
n
Partie C
1)a)p(T"a)est égal à l’aire sous la courbeCentre les abscissesx= 0etx=a:

1

1)b) Calcul de l’intégrale :

Figure 1.Illustration dep(T!a).

p(T"t)

=

=

=
=

#
t
f(u)du
0
#
t
−λu
λedu
0
−λu t
[−e]0
−λt
1−e .

−λt
1)c) On sait quelime= 0(carλ>0).
t→+∞
Ainsi, limP(T"t) = 1.
t→+∞
−λ×7
2) On suppose donc que1−e= 0,5. Onrésoud cela enλ:

−λ×7
1−e= 0,5

⇔
⇔
⇔

3)a) On demandep(T!5).
−λt
On remarque quep(T!t) = 1−p(T"t) =e.
Ainsi :

La probabilité demandée est donc

p(T!5)

61% .

=
≈

−λ×7
e= 0,5
−7λ=ln(0,5)
ln(2)
.
λ=≈0,099
7

−0,099×5
e
0,61.

3)b) On demandepT"2(T!7). La loi exponentielle étant sans vieillissement, ceci est égal àp(T!5)
donc au résultat précédent :61% .

L’énoncé ne stipule pas s’il faut redémontrer cela.
Au cas où, voici la démonstration :

pT"2(T!7)

=

=

=
=

p(T!2∩T!7)
p(T!2)
p(T!7)
p(T!2)
−λ×7
e
−λ×2
e
−λ×5
e .

2

1
3)c)E(T) =≈10 .
λ
On peut espérer qu’un composant dure 10 années en moyenne.

2

Exercice 2

•Affirmation 1 :fausse
A B(2,−2,−2)etA C(−2,−2,−2).
Clairement ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
•Affirmation 2 :vraie
Puisqu’on a déjàABetAC, calculons leur produit scalaire avec⃗n:

⃗n∙AB=
⃗n∙AC=

On a bien⃗n⊥ABet⃗n⊥AC.
•Affirmation 3 :vraie
SoitI=mil[B C]: on a

Vérifions queI∈(EF):

0 + 1×(−2) + (−1)×(−2) = 0.
0 + 1×(−2) + (−1)×(−2) = 0.

I(1,0,1).

E F(−1,−1,1)etE I(2,2,−2). On abienE I=−2E Fdonc oui,I , E , Falignés.
Vérifions queI∈(AB C):
L’équation de(AB C)est (on utilise le vecteur⃗n) :

y−z=yA−zA⇔y−z=−1.

Oui, les coordonnées deIvérifient cette équation.
•Affirmation 4 :fausse
On donne des équations paramétriques de ces deux droites :

x+ 2= 1t
(AB) :y= 2−2tt ,∈R.

z= 3−2t

x=−1 + 3u
(CD) :y=uu ,∈R.

z= 1−2u

On résoud :

 
1 + 2t−1 + 3u
2−2t=u
 
3−2t1−2u


1 + 2t=−1 + 3u
⇔2−2t=u

3−2t= 1−2u

2t= 3u−2
⇔2t=−u+ 2.

2t= 2u+ 2

3

On trouve la condition nécessaire3u−2 =−u+ 2 = 2u+ 2, qui n’a pas de solution enu.

3

Exercice 3 (propre à la spé)

1) a) 15 et 12 étant divisibles par 3, 15x−12yl’est aussi pour tout couple d’entiers(x, y).
En effet, 15x−12y= 3×(5x−4y)et, sixetysont des entiers,5x−4yest un entier aussi.
1) b) Soitx∈R.
' (
5 2
Alors le pointx, x−est à coordonnées entières si et seulement si :
4 3

•

•

xest entier ET :

5 2
il existe un entierytel quex−=y.
4 3

Autrement dit, le problème revient à chercher l’existence de deux entiersxetyvérifiant :

Mais cette égalité s’écrit aussi :

5 2
x−=y.
4 3

15x−12y= 8.

D’après 1, cela ne peut exister car sinon 8 serait divisible par 3 !!.
2) a)
On suppose donc quex0, y0sont deux entiers vérifiant :

m p
y0=x0−.
n q

En multipliant parn qde part et d’autre on obtient :

n q y0=m q x0−p n.

En factorisant parqon a tout de suite :

q×(q x0−n y0) =p n,

ce qui prouve queqdivisep n.
2) b)qétant premier avecp, Gauss affirme queqdivisen.
−−−−−−
3) a) Par Bezout,netmétant premier entre eux, on peut trouver deux entiers relatifsuetvtels
que :

u n−m v= 1.

Remarque : dire qu’il existeuetventiers relatifs tels queu n+m v= 1,c’est la même chose que
dire qu’il existeuetventiers relatifs tels queu n−m v= 1.
Vu quen=q ron a tout de suite le résultat demandé.
3)b) J’ai montré qu’il existeuetventiers relatifs tels queu n−m v= 1(E).

4

Je multiplie(E)parp rà gauche et à droite j’ai donc :

Je divise parn:

Si je pose

Cqfd.

n×(u p r)−m×(v p r) =p r.

m pr p
(u p r)− ×(v p r=) =.
n nq

x0=−v p rety0=−u p r

j’ai alors :

m pm p
−y0+×x0=⇔y0=×x0−
n qn q

4) Je résume ma méthode.Soientmetnpremiers entre eux ; soientpetqpremiers entre eux :

•

•

m p
Je vérifie siq|net si c’est le cas je sais que la droitey=x−aura des points à coordonnées
n q
entières.
n
Si c’est le cas je poser=puis je résoudu n−m v= 1et je posex0=−v p rety0=−u p r:
q
j’ai mon point à coordonnées entières.

Remarque : en fait il y a une infinité de tels points, puisqu’il y a une infinité de couples-solution
dans l’équation de Bezout.

Ici j’aiq= 4qui divise bienn= 8.

Je peux donc répondre à la question en affirmant que oui, la droite donnée aura des points à
coordonnées entières.

Pour aller plus loin que ce que le sujet demande, je peux calculer un tel point.
n
J’air= =2
q
)
u=−1
Je résoudu n−m v= 1⇔8u−3v= 1.je peux prendre
v=−3
Je posex0=−v p r= 3×7×2 =42 ety0=−u p r= 1×7×2 =14.
3 7
Alors le point(42,14)est sur la droitey=x−.
8 4

5) Cet algorithme se place dans les conditions de l’énoncé.

Il teste d’abord siqdivisenou pas.
* +
m p
Si oui, il prend toutes les valeurs entières dexet vérifie si le pointx, y=x+est à
* +
n q
m p
coordonnées entières ou si le pointx, y=−x+l’est.
n q
Cet algorithme va-t-il finir ?

Fixonsm, n, p, qdans les conditions de l’énoncé.
* +
m p
Ce qu’on a montré, c’est qu’il existe forcément un pointx0, x0−à coordonnées entières,
n q
mais peut-être que pour ce pointx0sera négatif.

5

* +
m p
Si c’est le cas, alors le point−x0,−x0+est à coordonnées entières aussi avec une abscisse
n q
−x0cette fois-ci positive.
Ainsi, en testant toutes les valeurs entières (deN)x0= 0,1,2, ...on finit mathématiquement par
m p
tomber soit sur une valeur positivex0telle quex0− ∈Z, soit sur une valeur positive(−x0)
n q
m p
telle que(−x0) +∈Z.
n q
m p
•Le programme teste donc pertinemment siX+∈Z, si oui, ceXcorrespond à−x0donc
n q
* +
m p
l’énoncé devrait plutôt afficher−XX ,+qui est un point à coordonnées entières de
n q
m p
la droiteΔ:y=x−.
n q
m p
•Il teste aussi si peut être plutôt c’est−X+qui est dansZ, ce qui revient à dire
n q
m p
queX−est dansZaussi. Dansce cas-là,X=x0et l’on afficherait plutôt alors
n q
* +
m p
X ,X−.
n q
m p
b) Ainsi, l’algorithme proposé par l’énoncé affiche un point entier de la droiteΔ:y=x−,
n q
quand un tel point existe.

4 Exercice4
EA25 30,6
1) tan(α=) =. Demême, tan(β) =.
ET xx
2) Posonsf(x) =tanx.
Déjà la définition donnée est valable dans]0;π/ 2[car dans cet intervalle, on a cos(x0) =/.
Ensuite, par dérivation d’un quotient :

3) Clairementγ=β−αdonc :

tan(γ)

=
=

=

=

′
f(x)

=

=

2 2
cosx+sinx
2
cosx
1
>0.
2
cosx

tan(β−α)
tan(β)−tan(a)
1 +tan(β)tan(α)
5,6
x2
on va multiplier parxen haut