Baccalauréat STL Métropole juin Physique de laboratoire et de procédés industriels
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2000
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STL Métropole juin 2000 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels Durée : 4 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 5 points Leplan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (unité graphique 10 cm). Pour tout entier naturel n, on note Mn le point d'affixe zn = ei 2pi3 · in où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument pi2 . (Par convention, pour n = 0, i0 = 1.) 1. Déterminer la forme algébrique ainsi que le module et un argument de cha- cun des nombres complexes z0, z1, z2 et z3. Placer dans le plan les points M0, M1, M2 et M3. 2. Exprimer zn+1 en fonction de zn . En déduire que Mn+1 est l'image de Mn , par une rotation r de centre O. Préciser une mesure de l'angle de cette rotation. 3. a. Exprimer un argument de zn en fonction de n. b. Déterminer les entiers naturels n tels que Mn soit confondu avec M0. 4. Pour tout entier naturel n, on note Qn , le point d'affixe ?n = ei 2pi3 · ( i 2 )n . (par convention, pour n = 0, ( i 2 )0 = 1). a. Montrer que pour tout entier naturel n, les points O, Mn , et Qn sont alignés.
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[ Baccalauréat STL Métropole juin 2000 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels Durée : 4 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 5 points Leplan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (unité graphique 10 cm). Pour tout entier naturel n, on note Mn le point d'affixe zn = ei 2pi3 · in où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument pi2 . (Par convention, pour n = 0, i0 = 1.) 1. Déterminer la forme algébrique ainsi que le module et un argument de cha- cun des nombres complexes z0, z1, z2 et z3. Placer dans le plan les points M0, M1, M2 et M3. 2. Exprimer zn+1 en fonction de zn . En déduire que Mn+1 est l'image de Mn , par une rotation r de centre O. Préciser une mesure de l'angle de cette rotation. 3. a. Exprimer un argument de zn en fonction de n. b. Déterminer les entiers naturels n tels que Mn soit confondu avec M0. 4. Pour tout entier naturel n, on note Qn , le point d'affixe ?n = ei 2pi3 · ( i 2 )n . (par convention, pour n = 0, ( i 2 )0 = 1). a. Montrer que pour tout entier naturel n, les points O, Mn , et Qn sont alignés.
- q2 etq3 dans le plan
- point d'affixe ?n
- vitesse égale
- axe des abscisses
- repère
- unique solution
- equation différentielle
[Baccalauréat STL Métropole juin 2000\ Physique de laboratoire et de procédés industriels
Durée : 4 heures
Coefficient : 4
EX E R C IC E1 5points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (unité graphique 10 cm). 2π in 3 Pour tout entier natureln, on noteMnle point d’affixezn=e∙i oùi désigne le π nombre complexe de module 1 et d’argument. (Par convention, pourn=0, 2 0 i=1.) 1.ment de chaDéterminer la forme algébrique ainsi que le module et un argu cun des nombres complexesz0,z1,z2etz3. Placer dans le plan les pointsM0,M1,M2etM3. 2.Exprimerzn+1en fonction dezn. En déduire queMn+1est l’image deMn, par une rotationrde centre O. Préciser une mesure de l’angle de cette rotation. 3. a.Exprimer un argument deznen fonction den. b.Déterminer les entiers naturelsntels queMnsoit confondu avecM0. µ ¶ n 2πi i 4.Pour tout entier natureln, on noteQn, le point d’affixeωn=e∙. (par 3 2 µ ¶ 0 i convention, pourn=0,=1). 2 a.Montrer que pour tout entier natureln, les points O,Mn, etQnsont alignés. b.Placer les pointsQ0,Q1,Q2etQ3dans le plan.
EX E R C IC Epoints2 4 Les unités physiques utilisées sont le mètre (m) et le kilogramme (kg). Un mobile de masse 16 kg, guidé rectilignement sur un banc à coussin d’air, est attaché à un ressort dont la constante de raideur vautk=1. Si l’on écarte le centre d’inertie G du solide de sa position d’équilibre O, alors G ef fectue des oscillations autour de celleci. À l’instantt, la position de G est repérée par le pointMd’abscissef(t) dans le repère ¡ ¢ −→ O,ı.
G
O −→ ı
M f(t)
G
Baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés indus triels
On admettra que la fonctionfest solution de l’équation différentielle :
A. P. M. E. P.
′′ (E) :16y+y=0. 1. a.Résoudre l’équation différentielle (E). b.On suppose qu’à l’instantt=0 le mobile est au point d’abscissef(0)= ′ −1 0, 5m et a une vitesse égale àf(0)=0, 125m.s . · ¸ 1t t Montrer que la fonctionfest définie parf(t)=cos+sin . 2 44 · ¸ 2 1 c.Vérifier que, pour tout réelt:f(t)=cos (t−π) . 2 4 p p 2 2 2.Montrer que pour tout réelt, on a :−6f(t)6. 2 2 3. a.Donner la valeur positivet0detpour laquelle le pointMse trouve pour la première fois en O. b.Combien de fois le pointMse trouvetil en O dans l’intervalle de temps [0 ; 35] ?
PR O B L È M E
Partie A
1.On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :
11 points
2 f(x)= −2 lnx+a x+b x, oùaetbsont deux nombres réels.
On appelleCla représentation graphique defdans le plan muni d’un repère ³ ´ −→−→ orthogonal O,u,vd’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. µ ¶ 13 Sachant que la courbeCpasse par le point A1 ;−et que le coefficient 2 directeur de la tangente en A est égal à−6, déterminer les valeurs des nombres aetb. 5 2 2.Pour la suite du problème, on prendraf(x)= −2 lnx+x−9x. 2 a.Déterminer la limite en 0 de la fonctionf. Que peuton en déduire pour la courbeC? b.Vérifier que l’on peut écrire : µ ¶ lnx5 9 2 f(x)=x−2+ −. 2 x2x En déduire la limite en+∞de la fonctionf.
Partie B
′ 1.On désigne parfla fonction dérivée defsur l’intervalle ]0 ;+∞[. ′ a.Calculerf(x). ′ b.Étudier le signe def(x). c.Dresser le tableau de variation de la fonctionfsur l’intervalle ]0 ;+∞[. 2. a.; 4], l’équationDémontrer que, dans l’intervalle [3f(x)=0 admet une unique solution, notéex0.
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Baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés indus triels
A. P. M. E. P.
b.Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 0,01 de x0. 3.Déterminer une équation de la droite D tangente à la courbeCau point d’abs cisse 1. ³ ´ −→−→ 4.Tracer dans le repèreO,u,vla droite D et la courbeC.
Partie C
1.On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :
g(x)=xlnx−x. ′ Expliciter la dérivéegde la fonctiong. 2.Déduire de la question précédente une primitiveFde la fonctionfsur l’inter valle ]0 ;+∞[. 3.On appelleAla partie du plan située entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=x0etx=5 (x0est défini à la questionB. 2). a.Hachurer sur la figure la partieA. b.On désigne par A l’aire, en unités d’aire, de la partieA. Calculer A en fonction dex0puis calculer une valeur approchée de A en prenant 3,88 comme valeur approchée dex0.
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