Baccalauréat STI Polynésie septembre 2011
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Polynésie septembre 2011 \ Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 4 points Le plan complexe est muni d'un repère orthononnal direct ( O, ??u , ??v ) . On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument pi2 . On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives a = 2p3?2i, b =?2?2ip3, c =?4 et d = 4i. 1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes a et b. b. Placer les points A, B, Cet D dans le plan muni du repère ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 1 cm. 2. a. Montrer que les points A, B, C et D sont un même cercle dont on déter- minera le centre et le rayon. b. Vérifier que d ?a =p3(c?b). c. Calculer les distances AB et CD. d. Déduire des questions 2. b. et 2. c. que le quadrilatère ABCD est un tra- pèze isocèle. EXERCICE 1 5 points On considère l'équation différentielle notée (E ) : y ??+ 1 9 y = 0, où y désigne une fonction de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur l'en- semble R des nombres réels et où y ?? désigne sa dérivée seconde.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Polynésie septembre 2011 \ Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 4 points Le plan complexe est muni d'un repère orthononnal direct ( O, ??u , ??v ) . On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument pi2 . On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives a = 2p3?2i, b =?2?2ip3, c =?4 et d = 4i. 1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes a et b. b. Placer les points A, B, Cet D dans le plan muni du repère ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 1 cm. 2. a. Montrer que les points A, B, C et D sont un même cercle dont on déter- minera le centre et le rayon. b. Vérifier que d ?a =p3(c?b). c. Calculer les distances AB et CD. d. Déduire des questions 2. b. et 2. c. que le quadrilatère ABCD est un tra- pèze isocèle. EXERCICE 1 5 points On considère l'équation différentielle notée (E ) : y ??+ 1 9 y = 0, où y désigne une fonction de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur l'en- semble R des nombres réels et où y ?? désigne sa dérivée seconde.
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Durée : 4 heures
[Baccalauréat STI Polynésie septembre 2011\ Génie mécanique, énergétique, civil
EX E R C IC Epoints1 4 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthononnal directO,u,v. On désigne π par i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 On considère les points A, B, C et D d’affixes respectivesa=2 3−2i, p b= −2−2i 3,c= −4 etd=4i.
1. a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com plexes a et b. ³ ´ −→−→ b.O,Placer les points A, B, Cet D dans le plan muni du repèreu,v d’unité graphique 1 cm. 2. a.Montrer que les points A, B, C et D sont un même cercle dont on déter minera le centre et le rayon. b.Vérifier qued−a=3(c−b). c.Calculer les distances AB et CD. d.st un traDéduire des questions 2. b. et 2. c. que le quadrilatère ABCD e pèze isocèle.
EX E R C IC Epoints2 5 On considère l’équation différentielle notée (E) : 1 ′′ y+y=0, 9 oùydésigne une fonction de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur l’en ′′ sembleRdes nombres réels et oùydésigne sa dérivée seconde.
1.Résoudre l’équation différentielle (E). 2.Déterminer l’expression de la fonctionfsolution de l’équation différentielle µ ¶ 3π ′ (E) qui vérifie les conditionsf=1 etf(3π)=0. 4 3.On considère la fonctiongdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par : µ ¶ 1 g(x)=2 cosx. 3 On donne cidessous la représentation graphique de la fonctiong, dans un re père orthogonal du plan. On noteKla partie du plan comprise entre la courbe représentative de la fonctiong, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectivesx=0 etx=π.
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µ ¶ 2 2 a.Justifier que pour tout nombre réelx, [g(x)]=1+cosx. 3 b.On considère le solideSengendré par La rotation de la partieKautour de l’axe des abscisses. Calculer la valeur exacte, en unité de volume, du volumeVdu solideS. Z π 2 On rappelle que:V=π[g(x)] dx. 0
PR O B L È M E11 points Partie A : exploitation d’un graphique ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthogonalO,ı,. La courbeCcidessous est la représentation graphique d’une fonctionfdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par :
x2 f(x)=xe+a x+b x+c, ′ oùa,betcdésignent trois nombres réels. On notefla fonction dérivée defsurR. ¡ ¢ −1 Cette courbeCpasse par les points A(0 ; 2) et B−31 ;−e . Au point B, la tangente à la courbeCest parallèle à l’axe des abscisses. La parabolePreprésente la fonctiongdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par :
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2 g(x)= −x−2x+2.
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−8 1. a.Donner la valeur def(0). En déduire la valeur dec. b.Donner la valeur def(−1). En déduire une relation entreaetb. ′ 2. a.Donner la valeur def(−1). ′ b.Exprimerf(x) en fonction deaet deb. En déduire une deuxième rela tion entreaetb. 3.eÀ l’aide des questions 1. b. et 2. b., déterminer les valeurs daet deb
Dans la suite, on admettra que pour tout nombre réelx,f(x)s’exprime par:
x2 f(x)=xe−x−2x+2.
Partie B x 1. a.Vérifier quef(x) peut se mettre sous la formex(e−x−2)+2. b.Déterminer la limite de la fonctionfen−∞.
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A. P. M. E. P.
c.Déterminer, lorsquextend vers−∞, la limite def(x)−g(x). Interpréter graphiquement le résultat. d.Étudier les positions relatives des courbesCetP. µ ¶ x e 2 2 2. a.Vérifier quef(x) peut se mettre sous la formex− −1+2. x x b.Déterminer la limite de la fonctionfen+∞. ′x 3. a.Établir que pour tout nombre réelx,f(x)=(x+1) (e−2). x b.Résoudre dans l’ensembleRdes nombres réels l’inéquation : e−2>0. ′ c.Déterminer le signe def(x) suivant les valeurs du nombre réelx. d.Dresser le tableau de variation de la fonctionf. On donnera la valeur exacte def(ln 2).
Partie C : calcul d’aire
On considère les fonctionsHethdéfinies sur l’ensembleRdes nombres réels par :
x x H(x)=(x−1)e eth(x)=xe . 1.Montrer que la fonctionHest une primitive de la fonctionhsurR. 2.Calculer l’aire du domaine du plan délimité par la courbeC, la parabolePet les droites d’équations respectivesx=0 etx=ln 2. Le résultat sera exprimé en unité d’aire.
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