Baccalauréat STI Polynésie juin 2010
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Polynésie juin 2010 \ Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 5 points Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . Onnote i le nombre complexe demodule 1 et d'argument pi2 .On considère les pointsA, B et C d'affixes respectives : a = 1+ i, b = a?2ei pi3 et c =?p3+ ip3. 1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes a, b et c. b. Vérifier que b = (1?p3)+ i(1+p3). c. En déduire que : cos (7pi 12 ) = 1?p3 2p2 . d. Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 2 cm. 2. a. Démontrer que le triangle OAB est un triangle rectangle. b. Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle OAB et construire ce cercle. 3. Déterminer la nature du quadrilatère OABC et prouver que le point C appar- tient au cercle circonscrit au triangle OAB. EXERCICE 2 4 points Onfixe à l'extrémité d'un ressort horizontal un objet M , qui peut coulisser sans frot- tement sur un plan.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Polynésie juin 2010 \ Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 5 points Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . Onnote i le nombre complexe demodule 1 et d'argument pi2 .On considère les pointsA, B et C d'affixes respectives : a = 1+ i, b = a?2ei pi3 et c =?p3+ ip3. 1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes a, b et c. b. Vérifier que b = (1?p3)+ i(1+p3). c. En déduire que : cos (7pi 12 ) = 1?p3 2p2 . d. Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 2 cm. 2. a. Démontrer que le triangle OAB est un triangle rectangle. b. Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle OAB et construire ce cercle. 3. Déterminer la nature du quadrilatère OABC et prouver que le point C appar- tient au cercle circonscrit au triangle OAB. EXERCICE 2 4 points Onfixe à l'extrémité d'un ressort horizontal un objet M , qui peut coulisser sans frot- tement sur un plan.
- droites d'équations respectives
- repère orthonormal
- nature du quadrilatère oabc
- sti génie mécanique
- écart entre la position
- position initiale
- baccalauréat sti
Durée : 4 heures
[Baccalauréat STI Polynésie juin 2011\ Génie mécanique, énergétique, civil
EX E R C IC E1 5points ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormalO,u,v. π On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument. On considère les points 2 A, B et C d’affixes respectives :
π i a=1+i,b=a×2e etc= −3+i 3. 3 1. a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com plexesa,betc. ¡ ¢¡ ¢ b.Vérifier queb=1−3+i 1+3 . p µ ¶ 7π1−3 c.En déduire que : cos= p. 12 2 2 ³ ´ −→−→ d.Placer les points A, B et C dans le plan muni du repèreO,u,vd’unité graphique 2 cm. 2. a.Démontrer que le triangle OAB est un triangle rectangle. b.Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle OAB et construire ce cercle. 3.Déterminer la nature du quadrilatère OABC et prouver que le point C appar tient au cercle circonscrit au triangle OAB.
EX E R C IC Epoints2 4 On fixe à l’extrémité d’un ressort horizontal un objetM, qui peut coulisser sans frot tement sur un plan. Le point A, où est accrochée l’autre extrémité du ressort, est fixe. Après avoir été écarté de sa position d’équilibre, l’objet est lâché avec une vitesse initiale. On repère l’objet par son abscisseXqui est fonction du tempstet qui mesure l’écart entre la position à un instanttet sa position initiale. On admet qu’à un instantt, la fonctionXest solution de l’équation différentielle (E) :
A
′′ X+100X=0.
M
X(t) Position initiale
1.Résoudre l’équation différentielle (E).
STI génie mécanique, énergétique, civil
A. P. M. E. P.
2.Déterminer l’expression de la solution particulièreXde (E) qui vérifie les condi tions :
−1′ X(0)=10 etX(0)=1. 3.Montrer que pour tout nombre réeltde l’intervalle [0 ;+∞[, on a : ³ ´ p π −1 X(t)=10 2cos 10t−. 4 4.Vérifier que l’énergie mécaniqueWdu système, définie pour tout nombre réel tde l’intervalle [0 ;+∞[ par :
−1′2 2 W(t)=10 [X(t)]+10[X(t)] , est constante. h h π 5.Déterminer la valeur moyenne de la fonctionXsur l’intervalle0 ;. 10 On rappelle que la valeur moyenne d’une fonction sur l’intervalle[a;b]est donnée par: Z b 1 f(x) dx. b−aa
PR O B L È M E11 points Sur la feuilleannexe, on a représenté, dans le plan muni d’un repère orthogonal ³ ´ −→−→ O,ı,la courbe représentativeCd’une fonctionfdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels. La courbeCpasse par les points A(0 ; 1), B(1 ; 1) et C(2 ;−1). Partie A : détermination de la fonctionf 1.Donner les valeurs def(0),f(1) etf(2). 2.On suppose que pour tout nombre réelx,f(x) s’écrit : ¡ ¢ 2 (−x+2) f(x)=a x+b xe+c , où les lettresa,betcdésignent trois nombres réels. En utilisant la question 1., déterminer la valeur des nombresa,betc.
Partie B : étude de la fonctionf Dans toute la suite du problème, on admettra que: ¡ ¢ 2 (−x+2) f(x)=x−xe+1. 1.Déterminer la limite de la fonctionfen−∞. ¡ ¢ 2−x2−x a.Établir que pour tout nombre réelx,f(x)=exe−xe+1. b.En déduire la limite de la fonctionfen+∞. c.Interpréter graphiquement le résultat obtenu. ′ 2.Montrer que la fonction dérivéefde la fonctionfest définie pour tout nombre réelxpar : ¡ ¢ ′2 (−x+2) f(x)=x−3x+.1 e ′ 3.Étudier le signe def(x) surR, puis établir le sens de variation de la fonction fsurR.
Polynésie
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STI génie mécanique, énergétique, civil
A. P. M. E. P.
4. a.Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbeCet de la droiteΔd’équationy=1. b.Étudier les positions relatives de la courbeCet de la droiteΔ. 5. a.Montrer que sur l’intervalle [−1 ; 0], la courbeCcoupe l’axe des abs cisses en un unique point. On noteraαl’abscisse de ce point. b.À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement deαd’amplitude −2 10 .
Partie C : calcul d’une aire p 1.On considère la fonctionGdéfinie surRar: ¡ ¢ 2 (−x+2) G(x)=x+x+1 e. ′ On noteGla fonction dérivée de la fonctionGsurR. ¡ ¢ ′2 (−x+2) Établir que pour tout nombre réelx,G(x)=x−xe . 2.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Calculer l’aire du domaineDdu plan délimité par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectivesx=0 etx=1. Le résultat dont on donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième, sera exprimé en unité d’aire.
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STI génie mécanique, énergétique, civil
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O
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Annexe (problème)
C
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A. P. M. E. P.
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