Baccalauréat STI Métropole septembre Génie énergétique civil mécanique
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2002 \ Génie énergétique, civil, mécanique EXERCICE 1 5 points On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 2 cm. 1. Soit P le polynôme défini par P (z)= z3?2z2+16. a. Trouver la valeur du nombre réel a, tel que, pour tout nombre complexe z, P (z)= (z+2) ( z2+az+8 ) . b. Résoudre alors l'équation : P (z)= 0. 2. Soient A, B et C les points d'affixes respectives zA = 2+2i ; zB = 2?2i ; ;C=?2. a. Donner la forme trigonométrique de zA, zB et zC. b. Placer les points A, B et C dans le plan complexe. 3. Soit B? le point d'affixe 4i. a. Trouver l'affixe du point ?milieu de [BB?]. b. Montrer que les pointa B, B? et C appartiennent à un cercle de centre ? dont on déterminera le rayon. EXERCICE 2 4 points On désire redresser une tension sinusoïdale alternative à l'aide d'un montage re- dresseur à diodes : RCu(t) uC (t) D2 D1 D4 D3 La tension u(t) est exprimée en volts et t en secondes.
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[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2002 \ Génie énergétique, civil, mécanique EXERCICE 1 5 points On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 2 cm. 1. Soit P le polynôme défini par P (z)= z3?2z2+16. a. Trouver la valeur du nombre réel a, tel que, pour tout nombre complexe z, P (z)= (z+2) ( z2+az+8 ) . b. Résoudre alors l'équation : P (z)= 0. 2. Soient A, B et C les points d'affixes respectives zA = 2+2i ; zB = 2?2i ; ;C=?2. a. Donner la forme trigonométrique de zA, zB et zC. b. Placer les points A, B et C dans le plan complexe. 3. Soit B? le point d'affixe 4i. a. Trouver l'affixe du point ?milieu de [BB?]. b. Montrer que les pointa B, B? et C appartiennent à un cercle de centre ? dont on déterminera le rayon. EXERCICE 2 4 points On désire redresser une tension sinusoïdale alternative à l'aide d'un montage re- dresseur à diodes : RCu(t) uC (t) D2 D1 D4 D3 La tension u(t) est exprimée en volts et t en secondes.
- droite ∆ d'équation
- représentation graphique de uc sur l'intervalle
- affixe du point ?milieu
- cm sur l'axe des ordonnées
- représentation graphique
[Baccalauréat STI Métropole septembre 2002\ Génie énergétique, civil, mécanique
EX E R C IC E1 5points π On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 ¡ ¢ −→−→ Le plan complexe est rapporté un repère orthonormalO,u,vd’unité graphique 2 cm. 3 2 1.SoitPle polynôme défini parP(z)=z−2z+16. a.Trouver la valeur du nombre réela, tel que, pour tout nombre complexe ¡ ¢ 2 z,P(z)=(z+2)z+a z+8 . b.Résoudre alors l’équation :P(z)=0. 2.Soient A, B et C les points d’affixes respectives zA=2+2i ;zB=2−C2i ; ;= −2. a.Donner la forme trigonométrique dezA,zBetzC. b.Placer les points A, B et C dans le plan complexe. ′ 3.le point d’affixe 4i.Soit B ′ a.Trouver l’affixe du pointΩmilieu de [BB ]. ′ b.Montrer que les pointa B, Bet C appartiennent à un cercle de centreΩ dont on déterminera le rayon.
EX E R C IC E2 4points On désire redresser une tension sinusoïdale alternative à l’aide d’un montage re dresseur à diodes :
u(t)
D1
D2
D3
D4
RC
uC(t)
La tensionu(t) est exprimée en volts etten secondes. La courbe représentant la tensionu(t) relevée à l’oscilloscope est donnée, en an nexe. £ ¤ −2 L’intervalle 0; 2∙10 correspondà une période de la fonctionu. 1.u(t) est de la formeu(t)=U sin(ωt+ϕ), où U etωsont des réels strictement positifs etϕun réel appartenant à ]−π;π]. On suppose, conformément à la représentation graphique de la fonction −2−2 t7→u(t), queu(t) est nulle pourt=0, pourt=pour10 ett=2∙10 etque la valeur maximale deu(t) est 325. Déterminer, à l’aide de la courbe, la période T et le réelϕ. On rappelle que 2π T=; en déduire la valeur exacte de la pulsationω. ω
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A. P. M. E. P.
2.On admet désormais que la tensionu(t) est donnée paru(t)=325 sin(100πt). La tension redresséeuC(t) est telle que : £ ¤ −2 – sit∈,0 ; 10uC(t)=u(t), £ ¤ −2−2 – sit∈10 ;2∙10 ,uC(t)= −u(t). a.Sur le dessin donné en annexe, tracer la représentation graphique deuC £ ¤ −2 sur l’intervalle0 ; 2∙(Cette feuille est à rendre avec la copie.)10 . £ ¤ −2 b.Calculer la valeur moyenne de la tension redresséeuC(t) sur0 ; 2∙10 .
u(t) 325
0
325
Annexeà rendre avec la copie
−2 10
t −2 2∙10
PR O B L È M E11 points ¡ ¢ −→−→ Le plan est rapporté un repère orthogonalO,ı,(unité graphique : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. Soitfla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par 1 lnx f(x)=2x−5+ −. x x ¡ ¢ −→−→ On noteCla courbe représentative defO,dans le repèreı,. Partie A : étude d’une fonction auxiliaire 2 Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=2x−2+lnx. ′ ′ 1.Calculerg(x), puis étudier le signe deg(x). 2.Dresser le tableau de variarions deg(les limites en 0 et en+∞ne sont pas demandées). Calculerg(1) et en déduire le signe deg(x). Partie B : étude defet représentation graphique 1. a.Calculer limf(x). x→+∞ b.Calculer limf(x). En déduire l’existence d’une droite asymptote àC. x→0 g(x) ′ ′′ 2.Calculerf(x). Vérifier quef(x)=. En déduire le signe def(x) et dresser 2 x le tableau de variations def. 3.Montrer que la droiteΔd’équationy=2x−5 est te àCen+∞. 4.Étudier la position deCpar rapport àΔ.
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5.Montrer que l’équationf(x)=0 admet deux solutionsαetβ(α<β) sur ]0 ;+∞[. −1 Donner une valeur approchée à 10près de chacune d’elles. ¡ ¢ −→−→ 6.Tracer, dans le repèreO,ı,, la droiteΔet la courbeC.
Partie C : étude d’une aire 2 1.SoitHla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parH(x)=(lnx) . ′ CalculerH(x). 2.SoitEla partie du plan limitée parCla droiteΔet les droites d’équarionsx=e etx=5. (e : base du logarithme népérien). 2 Calculer, en cm, la valeur exacte de l’aire deE. En donner également une 2 valeur approchée à 1 mmprès.
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