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[ BaccalauréatSTIMétropoleseptembre2000
GénieCivil,énergétique,mécanique(AetF)\
EXERCICE 1 4points
Lestroismachines A,BetCd’unatelier ontuneproductiontotalede10000 pièces
dumêmetype.
Ellesproduisentrespectivement2000, 3000et5000pièces.
Par ailleurs, onconstate que le nombredepièces avec défaut est de100 pour A,de
120pourBetde150pourC.
1. Recopieretcompléterletableausuivant:
MachineA MachineB MachineC TOTAL
Nombredepièces
sansdéfaut
Nombredepièces 150
avecdéfaut
TOTAL 2000 10000
2. Unepièceestchoisieauhasarddanslaproductiontotale.
Touteslespiècesontlamêmeprobabilitéd’êtrechoisies.
a. Montrerquelaprobabilitép pourqu’elleproviennedeAestégaleà0,2.1
b. Montrerquelaprobabilitép pourqu’elleaitundéfautestégaleà0,037.2
−3c. Calculer à 10 près la probabilité p pour qu’elle provienne de B et3
qu’ellesoitsansdéfaut.
3. Unepièceestchoisieauhasarddansl’ensembledespiècessansdéfaut.
−3Toutes ces pièces ayant la même probabilité d’être choisies, calculer à 10
prèslaprobabilitépourqu’elleproviennedeB.
EXERCICE 2 4points
³ ´→− →−
Leplan complexe est muni d’un repèreorthonormal O, u , v d’unité graphique
2cm.
1. Résoudredansl’ensembledesnombrescomplexesl’équation
¡ ¢
2(z−4) z −2z+4 =0.
2. OnnoteA,BetClespointsd’affixesrespectives:
p p
z =4 ; z =1+i 3 ; z =1−i 3.A B C
a. Écrirez et z sousformetrigonométrique.B C
b. PlaceravecprécisionlespointsA,BetCdansleplancomplexe.
Onferaledessinsurlacopie
c. Calculer|z −z |,|z −z |et|z −z |.B A C B C A
d. EndéduirelanaturedutriangleABC.
p
3. OnnoteKlepointd’affixe z =− 3+i.K
a. PlaceravecprécisionlepointKsurlafigureprécédente.
b. DémontrerqueletriangleOBKestrectangleisocèle.BaccalauréatSTIGénieCivil,énergétique,mécanique(AetF) A.P.M.E.P.
PROBLÈME 12points
Onseproposed’étudier,dansunepremièrepartie,quelquespropriétésd’unefonc-
tion f dont la représentation graphique est donnée. On s’intéresse, dans une se-
condepartie,àl’unedesesprimitiveset,dansunetroisièmepartie,aucalculd’une
aire. ³ ´→− →−
Pour tout le problème, le plan est muni du repère orthonormé O, ı , d’unité
graphique 4cm.
PartieA-étudegraphiqued’unefonction
Soit f lafonctiondéfiniesur]−∞;+∞[par:
2x x2e −e
f(x)= .
2x xe −e +1
On trouvera sur le graphique ci-après, le tracé de la courbeC représentative de la
fonction f etletracédelatangenteTàlacourbeC aupointK(0;1),danslerepère³ ´→− →−
orthonormé O, ı , .
OnadmetquelepointKestcentredesymétriedelacourbeC etquelepointB(1;3)
appartientàlatangenteT.
3 B
T
C
2
1 K
→−
A
→−O ı−2 −1 1 2
−1
−2
1. OnseproposededémontrercertainespropriétésdelacourbeC.
a. Étudierlalimitede f en−∞etpréciserl’asymptoteàC correspondante.
b. Onadmetquepourtoutréel x, f(x)peutsemettresouslaforme:
−x2−e
f(x)= .
−x −2x1−e +e
Métropole 2 septembre2000BaccalauréatSTIGénieCivil,énergétique,mécanique(AetF) A.P.M.E.P.
Endéduirelalimite de f en+∞etpréciser l’asymptote àC correspon-
dante.
c. Vérifier, par le calcul, que le point A(−ln2 ; 0) est un point dela courbe
C.
2. Grâceàunelecturegraphique,répondreauxquestionssuivantesenjustifiant
vosréponses.
′a. Déterminerlavaleurde f (0).
b. Donnerlesignede f(x)suivantlesvaleursde x.
PartieB-étuded’uneprimitivede f sur]−∞;+∞[
SoitF lafonctiondéfiniesur]−∞;+∞[par
¡ ¢
2x xF(x)=ln e −e +1 .
³ ´→− →−
etΓsacourbereprésentativedanslerepèreorthonormé O, ı , .
1. Étudier la limite de F en−∞. Interpréter graphiquement ce résultat pour la
courbeΓ.
2. a. Vérifierquepourtoutréel x, F(x)peuts’écrire:
¡ ¢
−x −2xF(x)=2x+ln 1−e +e .
b. CalculerlalimitedeF en+∞,puislalimitedeF(x)−(2x)en+∞.
c. EndéduirequelacourbeΓadmetunedroiteasymptote.
3. a. Démontrerque f estlafonctiondérivéedeF sur]−∞;+∞[.
3
b. VérifierqueF(−ln2)=ln .
4
c. DéduiredelapartieAletableaudevariationsdelafonction F.
−24. Recopieretcompléterletableausuivantendonnantlesrésultatsà10 près:
x −3 −2 −1 0 0,5 1 1,5 2 2,5
F(x)
³ ´→− →−
5. Sur la feuille de papier millimétré, tracer dans le repère O, ı , d’unités
graphiques 4 cm, les droites d’équations respectives y = 2x et y = 0, puis la
courbeΓ.
PartieC-Calculd’uneaire
Z0
1. Calculerlavaleurexactede f(x)dx.
−ln2
22. En déduire la valeur exacte en cm de l’aire du domaine AOK (grisé sur la
courbe jointe) et en donner une valeur approchée à un millimètre carréprès
parexcès.
Métropole 3 septembre2000