Baccalauréat STI Métropole La Réunion septembre
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Métropole & La Réunion \ septembre 2009 Génie électronique, électrotechnique et optique EXERCICE 1 6 points On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument pi 2 . Partie A 1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation z2?8z p 3+64= 0. 2. Soit z0 le nombre complexe de module 2 et dont un argument est pi 6 . Calculer le module et un argument du nombre complexe z30 . En déduire la forme algébrique de z30 . Partie B Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . On considère les points A, B et C d'affixes respectives : zA = 8i, zB = 4 p 3+4i et zC = zB où zB désigne le nombre complexe conjugué de zB. 1. Calculer le module et déterminer un argument de zB puis de zC 2. Vérifier que zA = 8ei pi 2 . 3. On appelle zD l'affixe du point D, image du point A par la rotation de centre O et d'angle pi 3 . a. Déterminer zD et l'écrire sous la forme rei? , où r est unnombre réel stric- tement positif et ? un nombre réel compris entre ?pi et pi. b. En déduire que zD =?4 p 3+4i.
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[ Baccalauréat STI Métropole & La Réunion \ septembre 2009 Génie électronique, électrotechnique et optique EXERCICE 1 6 points On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument pi 2 . Partie A 1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation z2?8z p 3+64= 0. 2. Soit z0 le nombre complexe de module 2 et dont un argument est pi 6 . Calculer le module et un argument du nombre complexe z30 . En déduire la forme algébrique de z30 . Partie B Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . On considère les points A, B et C d'affixes respectives : zA = 8i, zB = 4 p 3+4i et zC = zB où zB désigne le nombre complexe conjugué de zB. 1. Calculer le module et déterminer un argument de zB puis de zC 2. Vérifier que zA = 8ei pi 2 . 3. On appelle zD l'affixe du point D, image du point A par la rotation de centre O et d'angle pi 3 . a. Déterminer zD et l'écrire sous la forme rei? , où r est unnombre réel stric- tement positif et ? un nombre réel compris entre ?pi et pi. b. En déduire que zD =?4 p 3+4i.
- solution particulière de l'équation différentielle
- feuille annexe
- aire lamesure exacte de l'aire de la partieh duplan
- jeu de hasard
- sac opaque
- repère orthonormal direct
[Baccalauréat STI Métropole & La Réunion\ septembre 2009 Génie électronique, électrotechnique et optique
EX E R C IC E1 π On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 Partie A
1.Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes, l’équation p 2 z−8z3+64=0. π 2.Soitz0.le nombre complexe de module 2 et dont un argument est 6 3 Calculer le module et un argument du nombre complexez. 0 3 En déduire la forme algébrique dez. 0
Partie B ¡ ¢ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v. On considère les points A, B et C d’affixes respectives :
zA=8i,zB=4 3+4i etzC=zB
6 points
oùzBdésigne le nombre complexe conjugué dezB. 1.Calculer le module et déterminer un argument dezBpuis dezC π i 2.Vérifier quezA=8e . 2 3.On appellezDl’affixe du point D, image du point A par la rotation de centre O π et d’angle. 3 iθ a.DéterminerzDet l’écrire sous la formeroùe ,rest un nombre réel stric tement positif etθun nombre réel compris entre−πetπ. b.En déduire quezD= −4 3+4i. ¡ ¢ −→−→ 4. a.O,Placer les points A, B, C et D dans le repèreu,ven prenant comme unité graphique 1cm. b.Démontrer que le triangle OAD est équilatéral. c.Démontrer que le point O est le milieu du segment [CD]. d.Déterminer la nature du triangle ACD.
EX E R C IC E2 4points Pour un jeu de hasard, on place dans un sac opaque cinq jetons numérotés de 1 à 5, indiscernables au toucher. 1.ton qu’il placeLors d’une partie, un joueur pioche au hasard dans le sac un je devant lui. Il pioche ensuite au hasard un second jeton qu’il place à droite du premier, formant ainsi un nombre de deux chiffres. Le premier jeton tiré indique donc le chiffre des dizaines et le second celui des unités. a.À l’aide d’un arbre, écrire les 20 nombres qu’il est possible d’obtenir. b.Soit M2l’évènement «le nombre obtenu est un multiple de 2» et M3 l’évènement « le nombre obtenu est un multiple de 3 ». Démontrer queP(M2)=P(M3).
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c.Déterminer la probabilité de l’évènement A : « le nombre ohtenu est un multiple de 3 qui n’est ni un multiple de 2 ni un multiple de 5 ». 2.Un joueur doit miser 3 euros pour faire une partie. Si le nombre obtenu est un multiple de 2, le joueur perçoit 2 euros. Si le nombre obtenu est un multiple de 3,le joueur perçoit 3 euros. Si le nombre obtenu est un multiple de 5, le joueur perçoit 5 euros. Les sommes perçues sont cumulatives. (Par exemple, si le joueur obtient le nombre45qui est à la fois un multiple de3et de5, il perçoit8euros). On note X la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le gain (positif ou négatif )finalement réalisé par le joueur en tenant compte de la mise initiale. (Par exemple, si le joueur obtient le nombre45, la variable aléatoire X prend la valeur8−3=5). a.Démontrer que les valeurs prises par la variable aléatoireXsont−3 ;−20 ;1 ; et 5. 1 b.Démontrer queP(X=0)=. 10 c.Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoireX. 3. a.Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoireX. b.Le jeu estil équitable ?
PR O B L È M E10 points Partie A : Détermination d’une fonctiong On désigne par (E) l’équation différentielle ′ 2y+y=0, dans laquelleydésigne une fonction de la variablexdéfinie et dérivable sur l’en ′ semble des nombres réelsR.ydésigne la fonction dérivée dey. 1.Résoudre l’équation différentielle (E). 2.Soitfla solution particulière de l’équation différentielle (E) vérifiantf(2)=e. 1 2−x Démontrer que, pour tout nombre réelx,f(x)=e . 2 2 3.Pour tout nombre réelx, on poseg(x)=(2x+1)[f(x)]−9. 4−x Montrer queg(x)=(2x+1)e−9.
Partie B : Étude de la fonctiong On désigne parCla courbe représentative de la fonctiongdans un repère orthogo nal. 1.Déterminer la limite deg(x) lorsquextend vers−∞. 4−x4−x 2. a.Montrer, que pour tout nombre réelx,g(x)=2exe+e e−9. b.Utiliser cette expression pour déterminer la limite deg(x) lorsquextend vers−∞. c.En déduire que la courbeCadmet une asymptoteΔdont on donnera une équation. ′ 3. a.On désigne pargla fonction dérivée de la fonctiong. Montrer que pour ′4−x tout réelx,g(x)=(1−2x)e . b.Déterminer le sens des variations deget dresser le tableau de variations degsurR. 4. a.Calculer la valeur exacte des nombresg(−1) etg(0).
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b.Démontrer que l’équationg(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle [−1 ; 0]. c.Donner l’arrondi au centième deα. 5.Déterminer une équation de la droiteDtangente à la courbeCau point d’abs cisse 4. 6. a.Compléter le tableau de valeurs degqui se trouve sur la feuille annexe à rendre avec la copie. On arrondira les valeurs à l’unité. b.Tracer la droiteΔ, la droiteD, puis la courbeC, dans le repère figurant sur la feuille annexe à rendre avec la copie.
Partie C : Calcul d’aire
1.Démontrer que la fonctionGdéfinie surRpar
4−x G(x)=(−2x−3)e−9x
est une primitive surRde la fonctiong. 2. a.Hachurer la partieHdu plan délimitée par la courbeC, l’axe des abs cisses et les droites d’équationsx=0 etx=4. b.Calculer en unités d’aire la mesure exacte de l’aire de la par tieHdu plan. 2 c.la valeur arrondie au centième de l’aire de deEn déduire en cmH. On rappelle que les unités graphiques sont : 2 cm pour une unité en abs cisse et 1 cm pour 10 unités en ordonnée.
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Annexe du problème à rendre avec la copie
Tableau des valeurs de la fonctiong(valeurs arrondies à l’unité)
x−0, 75−0, 5−0, 252 3 4 5 60 0,5 1 g(x)
Repère orthogonal d’unités graphiques : 2 cm pour 1 unité en a bscisse et 1 cm pour 10 unités en ordonnée y
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
0 −1 −10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 −90 −100 −110
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