Baccalauréat STI Génie électronique
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie électronique \ génie électrotechnique, optique France septembre 2006 EXERCICE 1 5 points j désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument 2π 3 . 1. Résoudre, dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation d'inconnue z : (1?2i)z = (1? i)z?1? i. 2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal ( O, ?? u , ?? v ) d'unité gra- phique 4 cm, on considère les points A, B et D tels que : – A est le point d'affixe zA = 1? i, – B est l'image du point A par la rotation R de centre O et d'angle π 3 ; – D est le symétrique du point A par rapport à O. a. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure. b. Calculer le module et un argument de l'affixe zA du point A. c. Déterminer la forme algébrique de l'affixe zD du point D. Justifier. d. Calculer le module et un argument du nombre complexe zB affixe du point B. e. Justifier que le triangle AOB est équilatéral, en déduire la valeur de la dis- tance AB. 3.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie électronique \ génie électrotechnique, optique France septembre 2006 EXERCICE 1 5 points j désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument 2π 3 . 1. Résoudre, dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation d'inconnue z : (1?2i)z = (1? i)z?1? i. 2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal ( O, ?? u , ?? v ) d'unité gra- phique 4 cm, on considère les points A, B et D tels que : – A est le point d'affixe zA = 1? i, – B est l'image du point A par la rotation R de centre O et d'angle π 3 ; – D est le symétrique du point A par rapport à O. a. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure. b. Calculer le module et un argument de l'affixe zA du point A. c. Déterminer la forme algébrique de l'affixe zD du point D. Justifier. d. Calculer le module et un argument du nombre complexe zB affixe du point B. e. Justifier que le triangle AOB est équilatéral, en déduire la valeur de la dis- tance AB. 3.
- droite ∆ d'équation
- équation d'inconnue z
- situation d'équi- probabilité
- génie électronique
- probabilité de l'évènement
Durée : 4 heures
[Baccalauréat STI Génie électronique\ génie électrotechnique, optique France septembre 2006
EX E R C IC E1 5points 2π j désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument. 3 1.Résoudre, dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation d’inconnue z: (1−2i)z=(1−i)z−1−i. ³ ´ −→−→ 2.Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormalO,u,vd’unité gra phique 4 cm, on considère les points A, B et D tels que : – Aest le point d’affixezA=1−i, π – Best l’image du point A par la rotationRde centre O et d’angle; 3 – Dest le symétrique du point A par rapport à O. a.Faire une figure et la compléter au fur et à mesure. b.Calculer le module et un argument de l’affixezAdu point A. c.Déterminer la forme algébrique de l’affixezDdu point D. Justifier. d.Calculer le module et un argument du nombre complexezBaffixe du point B. e.Justifier que le triangle AOB est équilatéral, en déduire la valeur de la dis tance AB. −→ 3.On note C l’image de B par la translationTde vecteurwd’affixe−1+i. −→−→ a.Établir l’égalité vectorielle AD=2BC . b.Démontrer que le quadrilatère OBCD est un parallélogramme. c.Prouver que CD = AB. d.En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.
EX E R C IC Epoints2 4 Un joueur lance successivement et dans cet ordre trois pièces de monnaie : une de 2 euros et deux de 1 euro. 1.Déterminer les différents résultats possibles, sachant qu’un résultat peut être considéré comme un triplet du type (P, F, P) par exemple, P désignant pile et F désignant face. Chaque pièce est parfaitement équilibrée. On est dans une situation d’équi probabilité. 2.Si les trois pièces présentent leur côté face, le joueur perd 5 euros : sinon il gagne la somme des euros figurant sur les pièces présentant leur côté pile. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque lancer des trois pièces, associe la somme d’argent gagnée en euros. Lorsque le joueur perd, la variable X prend alors une valeur négative. a.Quelles valeurs peut prendre X ? b.Donner la loi de probabilité de X.
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A. P. M. E. P.
c.Calculer la probabilité de l’évènement « X62 ». 3.On dit qu’un jeu est équitable lorsque l’espérance mathématique du gain est égale à 0. a.Ce jeu estil équitable ? b.ièces préQuelle somme le joueur devraitil perdre lorsque les trois p sentent leur côté face pour que ce jeu soit équitable ?
PR O B L È M E11 points Partie A : Détermination d’une fonction Soitfune fonction définie sur l’ensemble des nombres réelsR,Cfla représentation ³ ´ −→−→ ′ graphique de la fonctionfdans un repère orthonormalO,ı,du plan etfla fonction dérivée def. On sait de plus que : •la droiteΔd’équationy=1 est asymptote à la courbeCfen−∞; •la courbeCfpasse par le point A(0 ; 4) 1 •la courbeCfune tangente parallèle à l’axe desadmet au point d’abscisse 4 abscisses. 1.Déterminer les nombres réels suivants en justifiant la réponse donnée : µ ¶ 1 ′ a.f(0)b.fc.limf(x). x→−∞ 4 2x 2.On admet que, pour tout réelx,f(x)=a+(b x+c)e oùa,betcsont trois constantes réelles. ′2x a.Montrer que, pour tout réelx,f(x)=(2b x+b+2c)e . b.Exprimer en fonction dea,betcles nombres réels suivants : µ ¶ 1 ′2x f(0) ;f; limf(xlim) (on admet quexe=0). x→−∞x→−∞ 4 3. a.Déduire des questions précédentes que les réelsa,betcsont solutions du système : a+c=4 3 b+2c=0 2 a=1
4.Résoudre ce système et donner l’expression def(x) en fonction dex.
Partie B : étude et représentation d’une fonction On admet quefest définie surRpar : 2x f(x)=1+(−4x+3)e . ³ ´ −→−→ Cfest la courbe représentative defdans le repère orthonormalO,ı,d’unité 2 cm. 1. a.Déterminer la limite defen+∞. b.On rappelle que la droiteΔd’équationy=lest asymptote à la courbe Cfen−∞. Étudier la position de la courbeCfpar rapport à la droiteΔ. ′ ′ 2. a.Calculerf(x),fétant la fonction dérivée de la fonctionf. b.Étudier les variations de la fonctionfsurRet établir son tableau de va riations.
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Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique
A. P. M. E. P.
3. a.Démontrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαdans · ¸ 1 l’intervalle ;1 . 4 −2 b.Donner un encadrement deα.d’amplitude 10 4.En utilisant les résultats précédents, construire sur la feuille de papier milli ³ ´ −→−→ métré, la droiteδpuis la courbeCfdans le repèreO,ı,.
Partie C : calcul d’une aire On considère les fonctionshetHdéfinies surRpar : µ ¶ 5 2x2x h(x)=(−4x+3)e etH(x)= −2x+e . 2 1.Vérifier que la fonctionHest une primitive de la fonctionhsurR. 2.On appelleDla partie du plan comprise entreCf,la droiteΔd’équationy=1 et les droites d’équationsx= −1 etx=0. a.HachurerDsur le graphique. 2 b., de l’aireCalculer la valeur exacte de la mesure, en cmAdeDpuis en −2 donner une valeur approchée à 10près.
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