Baccalauréat STI Génie électronique
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Français
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2008
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie électronique \ génie électrotechnique, optique France 23 juin 2008 Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète on non fructueuse, qu'il aura développée. Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées en même temps que le sujet. EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) d'unité gra- phique 1 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . 1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation : z2+6z p 3+36= 0. 2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives : zA =?3 p 3+3i zB =?3 p 3?3i et zC =?6 p 3. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes zA et zB. b. Écrire le nombre complexe zA sous la forme rei? où r est un nombre réel strictement positif et ? un nombre réel compris entre ?π et π. c. Placer les points A, B, C dans le plan muni du repère ( O, ?? u , ?? v ) . 3.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie électronique \ génie électrotechnique, optique France 23 juin 2008 Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète on non fructueuse, qu'il aura développée. Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées en même temps que le sujet. EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) d'unité gra- phique 1 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . 1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation : z2+6z p 3+36= 0. 2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives : zA =?3 p 3+3i zB =?3 p 3?3i et zC =?6 p 3. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes zA et zB. b. Écrire le nombre complexe zA sous la forme rei? où r est un nombre réel strictement positif et ? un nombre réel compris entre ?π et π. c. Placer les points A, B, C dans le plan muni du repère ( O, ?? u , ?? v ) . 3.
- équation de la tangente ∆ au point d'abscisse
- repère
- solution de l'équation différentielle
- point du plan complexe d'ordonnée négative
Durée : 4 heures
[Baccalauréat STI Génie électronique\ génie électrotechnique, optique France 23 juin 2008
Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète on non fructueuse, qu’il aura développée. Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées en même temps que le sujet.
EX E R C IC Epoints1 5 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,vd’unité gra phique 1 cm. π On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 1.Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation : p 2 z+6z3+36=0.
2.On considère les points A, B et C d’affixes respectives : zA= −3 3+3izB= −3 3−3i etzC= −6 3. a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com plexes zAet zB. iθ b.Écrire le nombre complexezAsous la formere oùrest un nombre réel strictement positif etθun nombre réel compris entre−πetπ. ³ ´ −→−→ c.O,Placer les points A, B, C dans le plan muni du repèreu,v. 3. a.Déterminer la nature du triangle ABC. b.En déduire que le quadrilatère OACB est un losange. 4.On appelle K le point du plan complexe d’ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O. On notezKl’affixe du point K. a.Construire le point K sur la figure. b.Par quelle rotation de centre O, le point K estil l’image du point A ? iθ c.Écrire alorszK, sous la formere (oùrest un nombre réel strictement positif etθun réel compris entre−πetπ) puis sous forme algébrique.
EX E R C IC E2 4points On considère l’équation différentielle : ′′ (E) :y+25y=0 oùydésigne une fonction de la variable réellexdéfinie et deux fois dérivable sur ′′ l’ensembleRdes nombres réels, etysa fonction dérivée seconde. 1.Résoudre l’équation (E). ′ 2.Soitfla fonction définie et dérivable surR, dont on notefla fonction dérivée, vérifiant les trois conditions suivantes : •fest solution de l’équation différentielle (E) ; •la courbe représentative defdans un repère du plan passe par le point de ³ ´ π coordonnées ;−2 ; 6
A. P. M. E. P.
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′ •f(0)= −5. p Montrer que, pour tout réelx,f(x)=3 cos 5x−sin 5x. ³ ´ π 3.Vérifier que, pour tout réelx,f(x)=52 cosx+. 6 h i π 4.Calculer la valeur moyenne def.0 ;sur l’intervalle sur 6
PR O B L È M E11 points ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthogonalO,ı,d’unités graphiques 4 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée. On s’intéresse dans ce problème à la fonctionfdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par 3 f(x)=. 3x e+1 ³ ´ −→−→ On noteCla courbe représentative de la fonctionfO,dans le repèreı,. Partie A : étude de la fonctionf 1. a.Déterminer la limite def(x) lorsquextend vers+∞. b.En déduire que la courbeCadmet une asymptote que l’on précisera. c.Déterminer le signe def(x) pour tout nombre réelx; qu’en déduiton sur la position de la courbeCpar rapport à cette asymptote ? 2.On considère la droiteDd’équationy=3. a.Déterminer la limite def(x) quandxtend vers−∞. b.En déduire que la courbeCadmet la droiteDcomme asymptote. 3x 3e c.Montrer que, pour tout nombre réelx,f(x)=3−. 3x e+1 d.En déduire la position relative de la courbeCet de la droiteD. ′ 3.On notefla fonction dérivée de la fonctionf. 3x −9e ′ a.Montrer que, pour tout nombre réelx,f(x)=. ¡ ¢ 2 3x e+1 b.En déduire le sens de variation de la fonctionfsurR, puis dresser son tableau de variations. 4.Déterminer une équation de la tangenteΔau point d’abscisse 0. ³ ´ −→−→ 5.Dans le plan muni du repèreO,ı,tracer les droitesDetΔainsi que la courbeC.
Partie B : Calcul de l’aire d’une partie du plan 1. a.On considère la fonctiongdéfinie surRpar 3x 3e g(x)=. 3x e+1 Déterminer une primitiveGde la fonctiongsurR. (On pourra remar ′ u quer que la fonctiongest de la formeoùuest une fonction que l’on u précisera). b.En utilisant la question 2. c. de la partie A, déterminer une primitiveFde la fonctionfsurR.
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A. P. M. E. P.
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2.Soitaun réel strictement positif. On noteA(adu) la mesure, exprimée en unités d’aire, de l’aire de la partie plan comprise entre la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 etx=a. a.ExprimerA(a) à l’aide d’une intégrale. ¡ ¢ 3a b.Établir queA(a)=3a−ln e+1+ln 2. ¡ ¢ 3a c.En remarquant que 3a=, écrireln eA(a) sous la forme du loga rithme népérien d’un quotient ; déterminer alors la limite deA(a) lorsque atend vers+∞. Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même in complète, figurant sur la copie sera prise en compte dans l’évaluation.
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