Baccalauréat STI Génie électronique
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie électronique \ génie électrotechnique, optique France septembre 2007 EXERCICE 1 Le plan complexe P est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? ı , ?? ? ) d'unité graphique 1 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1, d'argument π 2 . 1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation : z2?6z+12= 0. 2. Dans le plan complexe P , on considère les points A et B d'affixes respectives zA = 3+ i p 3 et zB = 3? i p 3. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes zA et zB. b. Placer les points A et B dans le repère ( O, ?? ı , ?? ? ) . 3. On considère le point C, image du point O par la translation de vecteur ??? AB . a. Placer le point C dans le repère ( O, ?? ı , ?? ? ) . b. Déterminer la forme algébrique de l'affixe zC du point C. c. Démontrer que OC = BC, d. En déduire la nature du quadrilatère OABC. 4. On considère le pointD, image du point A par la rotation de centreO et d'angle π 3 .
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Génie électronique \ génie électrotechnique, optique France septembre 2007 EXERCICE 1 Le plan complexe P est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? ı , ?? ? ) d'unité graphique 1 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1, d'argument π 2 . 1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation : z2?6z+12= 0. 2. Dans le plan complexe P , on considère les points A et B d'affixes respectives zA = 3+ i p 3 et zB = 3? i p 3. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes zA et zB. b. Placer les points A et B dans le repère ( O, ?? ı , ?? ? ) . 3. On considère le point C, image du point O par la translation de vecteur ??? AB . a. Placer le point C dans le repère ( O, ?? ı , ?? ? ) . b. Déterminer la forme algébrique de l'affixe zC du point C. c. Démontrer que OC = BC, d. En déduire la nature du quadrilatère OABC. 4. On considère le pointD, image du point A par la rotation de centreO et d'angle π 3 .
- courbe cg
- nature du quadrilatère oabc
- équation différentielle
- solution de l'équation différentielle
- quadrilatère abcdest
- génie électronique
- repère orthonormal direct
Durée : 4 heures
[Baccalauréat STI Génie électronique\ génie électrotechnique, optique France septembre 2007
EX E R C IC E1 ³ ´ −→−→ Le plan complexePest muni d’un repère orthonormal directO,ı,d’unité graphique 1 cm. π On désigne par i le nombre complexe de module 1, d’argument. 2 1.Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation : 2 z−6z+12=0.
2.Dans le plan complexeP, on considère les points A et B d’affixes respectives p zA=3+i 3etzB=3−i 3. a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com plexeszAetzB. ³ ´ −→−→ b.O,Placer les points A et B dans le repèreı,. −→ 3.On considère le point C, image du point O par la translation de vecteur AB . ³ ´ −→−→ a.Placer le point C dans le repèreO,ı,. b.Déterminer la forme algébrique de l’affixezCdu point C. c.Démontrer que OC = BC, d.En déduire la nature du quadrilatère OABC. 4.On considère le point D, image du point A par la rotation de centre O et d’angle π . 3 ³ ´ −→−→ a.Placer le point D dans le repèreO,ı,. b.Déterminer la forme algébrique de l’affixezDdu point D. c.Démontrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze ayant deux côtés op posés de même longueur.
EX E R C IC E2 Dans cet exercice, les trois questions peuvent être traitées de manière indépendante. On désigne paryune fonction de la variable réellet, définie et 2 fois dérivable sur ′′ l’ensembleRdes nombres réels, et parysa fonction dérivée seconde. 1.Résoudre l’équation différentielle : y"+9y=0.
2.On désigne par (E) l’équation différentielle :
y"+9y=8 sint.
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a.On désigne parAun nombre réel quelconque. Vérifier que la fonctionfdéfinie surRpar : 1 f(t)= −sin(3t)+Acos(3t)+sint. 3 est une solution de l’équation différentielle (E). ³ ´ π b.Déterminer le nombre réelAtel quef=0. 4 3.On considère maintenant la fonctiongdéfinie surRpar : 1 2 g(t)= −sin(3t)+cos(3t)+sint. 3 3 h i π Calculer la valeur moyenne de la fonctiong.0 ;sur l’intervalle 3
PR O B L È M E Ce problème a pour but d’étudier la position relative des courbes représentatives de deux fonctions. On note ln la fonction logarithme népérien. Partie A. Détermination d’une fonctionf ³ ´ −→−→ On donne cidessous, dans le planPO,muni d’un repère orthonormalı, d’unité graphique 2 cm, la courbe représentativeCfd’une fonctionfdéfinie sur l’ensemble des nombres réelsR. On suppose que la courbeCfpasse par les points A de coordonnées (0 ; ln3), B de coordonnées (−1 ; 0) et C de coordonnées (−2 ; 0). 1.On admet qu’il existe trois nombres réelsa,betctels que, pourxréel, ¡ ¢ 2 f(x)=lna x+b x+c. Calculera,betc. 4 y
3 3
2 2
1 1
Cf
0 -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3x4 −5−4−3−2−2 31 1 -1 −1
-2 −2 (Ce graphique n’est pas à l’échelle.) ¡ ¢ 2 2.On admet que la fonctionfest définie surRparf(x)=lnx+3x+3 eton ′ désigne parfsa fonction dérivée. ′ a.Déterminerf(x) pour toutxréel. b.Démontrer que la fonctionfadmet un minimum surR.
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c.Déterminer la valeur exacte de ce minimum.
Partie B. Étude d’une fonctiong On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [−1 ;+∞[ par : µ ¶ 10x+11 g(x)=ln . x+2 ³ ´ −→−→ On noteCgla courbe représentative de la fonctiongO,dans le repèreı,, du ′ planPetgsa fonction dérivée sur l’intervalle [−1 ;+∞[ 1. a.Calculerg(−1). b.Déterminer la limite de la fonctiongen+∞. En déduire que la courbeCgadmet une asymptoteDdont on donnera une équation. 2. a.En remarquant que, pour toutxappartenant à l’intervalle [−1 ;+∞[ :
justifier que :
g(x)=ln(10x+11)−ln(x+2),
9 ′ g(x)=. (10x+11)(x+2) b.Établir le tableau de variations de la fonctiong.
Partie C. Étude des positions relatives deCfetCg 3 2 1.On pose, pour toutxréel,P(x)=x+5x−x−5. ¡ ¢ 2 a.Vérifier que, pour toutxréel,P(x)=x−1 (x+5). b.Résoudre dansRl’équationP(x)=0. c.Étudier le signe deP(x) pour toutxréel. ¡ ¢ 2 2.On rappelle que la fonctionfest définie surRpar :f(x)=lnx+3x+3 et µ ¶ 10x+11 que la fonctiongest définie sur l’intervalle [−1 ;+∞[ parg(x)=ln . x+2 a.En utilisant les résultats de la question C. 1. b., résoudre dans l’intervalle [−1 ;+∞[ l’équationf(x)=g(x). b.En déduire les coordonnées des points d’intersection des courbesCfet Cgsur l’intervalle [−1 ;+∞[. 3. a.En utilisant les résultats de la question C. 1. c, résoudre dans l’intervalle [−1 ;+∞[ l’inéquationf(x)>g(x). b.En déduire selon les cas la position de la courbeCfpar rapport à la courbeCgsur l’intervalle [−1 ;+∞[ ; 4.Sur le graphique de la partie A, tracer la droiteDet la courbeCg.
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