Baccalauréat STI France septembre Génie des matériaux mécanique B C D E
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI France septembre 2008 \ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E EXERCICE 1 5 points On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . Partie A Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? ) . On prendra pour unité graphique 2 cm sur chaque axe. Soit P le polynôme défini par : P (z)= z3? z2?2z?12 1. a. Calculer P (3). Que peut-on en déduire pour le polynôme P ? b. Déterminer les réels a,b et c tels que P (z)= (z?3) ( az2+bz+c ) . 2. a. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation : z2+2z+4= 0. b. En déduire les solutions de l'équation P (z) = 0 dans l'ensemble C des nombres complexes. Partie B Soit A, B, C et D les points du plan complexe d'affixes respectives : zA =?1+ i p 3 ; zB = 2e?2i π 3 ; zC = 3? ( 3 p 3 ) i ; zD = 3 1. a. Calculer le module et un argument de zA puis écrire zA sous forme trigo- nométrique.
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[ Baccalauréat STI France septembre 2008 \ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E EXERCICE 1 5 points On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . Partie A Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? ) . On prendra pour unité graphique 2 cm sur chaque axe. Soit P le polynôme défini par : P (z)= z3? z2?2z?12 1. a. Calculer P (3). Que peut-on en déduire pour le polynôme P ? b. Déterminer les réels a,b et c tels que P (z)= (z?3) ( az2+bz+c ) . 2. a. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation : z2+2z+4= 0. b. En déduire les solutions de l'équation P (z) = 0 dans l'ensemble C des nombres complexes. Partie B Soit A, B, C et D les points du plan complexe d'affixes respectives : zA =?1+ i p 3 ; zB = 2e?2i π 3 ; zC = 3? ( 3 p 3 ) i ; zD = 3 1. a. Calculer le module et un argument de zA puis écrire zA sous forme trigo- nométrique.
- qualité
- points du plan complexe d'affixes respectives
- feuille de papier millimétré
[Baccalauréat STI France septembre 2008\ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E
EX E R C IC Epoints1 5 π On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 Partie A ¡ ¢ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalO,ı,. On prendra pour unité graphique 2 cm sur chaque axe. SoitPle polynôme défini par : 3 2 P(z)=z−z−2z−12 1. a.CalculerP(3). Que peuton en déduire pour le polynômeP? ¡ ¢ 2 b.Déterminer les réelsa,betctels queP(z)=(z−3)a z+b z+c. 2. a.Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation : 2 z+2z+4=0.
b.En déduire les solutions de l’équationP(z)=0 dans l’ensembleCdes nombres complexes.
Partie B Soit A, B, C et D les points du plan complexe d’affixes respectives : ³ ´ π −2i 3 zA= −1+i 3;zB=2e ;zC=3−3 3i ;zD=3
1. a.Calculer le module et un argument dezApuis écrirezAsous forme trigo nométrique. b.ÉcrirezBsous forme algébrique. 2.t D dans le repèrePlacer sur la feuille de papier millimétré les points A, B, C e ¡ ¢ −→−→ O,ı,. −→3−→ a.Montrer que : DC=AB . 2 b.En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
EX E R C IC Epoints2 4 Un industriel se fournit en pièces détachées chez deux fournisseurs différents : le producteur Lavigne et le producteur Olivier. Les pièces fournies ont trois niveaux de qualité différents, en fonction des utilisations prévues. Ces niveaux de qualité influent sur la durée de vie estimée des pièces selon le tableau 1 où les durées de vie estimées sont exprimées en années. Qualité Qualité Qualité supérieure ordinaire« premier prix » Producteur 53 2 Lavigne Producteur 32 1 Olivier Tableau1: durées de vie estimées des pièces en années. Un lot est constitué de 2 000 pièces indiscernables suivant le tableau 2 cidessous :
A. P. M. E. P.
Corrigé du baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique
Qualité Qualité QualitéTotal supérieure ordinaire« premier prix » Producteur Lavigne100 500800 Producteur Olivier400 500 Total 2000 Tableau2répartition des pièces en fonction de leur origine et de leur qualité.
1. a.Recopier et compléter le tableau 2. b.s.Montrer que 1 000 pièces ont une durée de vie estimée de deux an 2.On choisit une pièce au hasard, chaque pièce ayant la même probabilité d’être choisie. a.Déterminer la probabilité que la durée de vie estimée de la pièce choisie soit de deux ans. b.On suppose que la pièce choisie provient du producteur Lavigne. Quelle est alors la probabilité que sa durée de vie estimée soit de deux ans ? 3.On noteXla variable aléatoire qui, pour chaque pièce du lot considéré, asso cie sa durée de vie estimée. a.Déterminer la probabilité de l’évènement «X=3 ». b.Établir sous forme d’un tableau la loi de probabilité deX. c.Calculer l’espérance deX. Interpréter ce nombre.
PR O B L È M E Soitfla fonction définie et dérivable surR, d’expression : ¡ ¢ x f(x)=ln 1+e−1.
4 points
On noteCfla courbe représentative de la fonctionfdans le plan rapporté à un ¡ ¢ −→−→ repère orthonormalO,ı,. Partie A Étude de la fonctionf 1. a.Déterminer la limite defen−∞. Donner une interprétation graphique du résultat. b.Déterminer la limite defen+∞. ′ 2.Soitfla fonction dérivée defsurR. Vérifier que, pour toutxdeR, on a : x e ′ f(x)=. x e+1 ′ a.Étudier le signe def(x) et établir le tableau de variations defsurR. b.Déterminer une équation de la tangente T àCfau point E d’abscisse 0. x x 3. a.Montrer que, pour toutxdeR, on a :f(x)−(x−1)=ln (1+e )−ln (e). −x En déduire que pour toutxdeRon a :f(x)−(x−1)=ln (e+1). b.Déterminer la limite def(x)−(x−1) en+∞. Donner une interprétation graphique du résultat. c.SoitΔla droite d’équation :y=x−1. Étudier la position deCfpar rapport à la droiteΔ. 4.En prenant comme unité graphique 2 cm sur chaque axe, construire sur une feuille de papier millimétré la droite T, la droiteΔ, la droite d’équation :x=1, et la courbeCf.
Partie B Encadrement d’une aire
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A. P. M. E. P.
Corrigé du baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique
1.Hachurer sur le graphique la partie du plan délimitée par la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équations :x=1 etx=2. On va déterminer un encadrement de la valeur de l’aireA, de cette surface en unités d’aire. 2.Tracer la droite D d’équation :y=0, 8x−0, 2. 3.Par lecture graphique préciser la position relative de la courbeCfet de la droite D sur l’intervalle [1; 2]. 4.On admet que : Z ZZ 2 22 (x−1) dx6f(x) dx6(0, 8x−0, 2) dx. 1 11 Z Z 2 2 a.CalculerI=(x−1) dxetJ=(0, 8x−0, 2) dx. 1 1 b.En déduire un encadrement deA.
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