Baccalauréat STI décembre 2006
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI décembre 2006 \ Génie Mécanique - Génie énergétique - Génie Civil Nouvelle-Calédonie Un formulaire demathématiques est distribué enmême temps que le sujet.Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats. EXERCICE 1 5 points On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π2 . Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) , unité gra- phique : 2 cm. 1. Résolution d'une équation. a. Résoudre, dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation (z?4i) ( z2?4z+8 ) = 0. b. Déterminer l'écriture de chacune des solutions sous la forme exponen- tielle ?ei? où ? est un nombre réel strictement positif et ? un nombre réel. 2. Soient A, B et C les points d'affixes respectives a = 2?2i, b = 2+2i et c = 4i. a. Placer les points A, B et C dans le repère ( O, ?? u , ?? v ) . b. Placer le milieu Mdu segment [BC] et calculer son affixem sous la forme algébrique. 3. On désigne par B?, C? et M? les points d'affixes respectives b? = 16 b , c ? = 16 c et m? = 16 m .
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI décembre 2006 \ Génie Mécanique - Génie énergétique - Génie Civil Nouvelle-Calédonie Un formulaire demathématiques est distribué enmême temps que le sujet.Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats. EXERCICE 1 5 points On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π2 . Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) , unité gra- phique : 2 cm. 1. Résolution d'une équation. a. Résoudre, dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation (z?4i) ( z2?4z+8 ) = 0. b. Déterminer l'écriture de chacune des solutions sous la forme exponen- tielle ?ei? où ? est un nombre réel strictement positif et ? un nombre réel. 2. Soient A, B et C les points d'affixes respectives a = 2?2i, b = 2+2i et c = 4i. a. Placer les points A, B et C dans le repère ( O, ?? u , ?? v ) . b. Placer le milieu Mdu segment [BC] et calculer son affixem sous la forme algébrique. 3. On désigne par B?, C? et M? les points d'affixes respectives b? = 16 b , c ? = 16 c et m? = 16 m .
- génie mécanique
- vanne
- solution de l'équation différentielle
- feuille de papier millimétré
- repère orthonormal direct
Durée : 4 heures
[Baccalauréat STI décembre 2006\ Génie Mécanique Génie énergétique Génie Civil NouvelleCalédonie
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet. Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.
EX E R C IC E1 5points π On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v, unité gra phique : 2 cm. 1.Résolution d’une équation. a.Résoudre, dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation ¡ ¢ 2 (z−4i)z−4z+8=0.
b.Déterminer l’écriture de chacune des solutions sous la forme exponen iθ tielleρe oùρest un nombre réel strictement positif etθun nombre réel. 2.Soient A, B et C les points d’affixes respectivesa=2−2i,b=2+2i etc=4i. ³ ´ −→−→ a.O,Placer les points A, B et C dans le repèreu,v. b.Placer le milieu M du segment [BC] et calculer son affixemsous la forme algébrique. 16 16 ′ ′′ ′′ 3.les points d’affixes respectiveset MOn désigne par B , Cb=,c=et b c 16 ′ m=. m ′ a.Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexesbet ′ c. 8 24 ′ On admettra quem= −i. 5 5 ′ ′′ b.et Msur la figure.Placer les points B , C 4.Quelques configurations géométriques. ′ ′′ a.Calculer les modules des nombres complexesb−a,c−aetm−a. ′ ′′ b.appartiennent à un même cercleet MEn déduire que les points B , CC de centre A. c.Tracer le cercleCsur la figure et démontrer que le point O appartient au cercleC. ′ ′ d.Démontrer que le triangle isocèle AB Cest rectangle en A.
EX E R C IC Epoints2 3 Le dispositif de la figure A cidessous est constitué d’une cuve reliée à un récipient par un tuyau muni d’une vanne. Cette vanne étant fermée, on remplit d’eau la cuve (figure A). On ouvre ensuite la vanne et l’eau passe dans le récipient d’où elle s’écoule en pluie fine par le fond percé d’une multitude du petits orifices comme l’indique la figure B cidessous.
Baccalauréat STI Génie mécanique
Cuve
Récipient Vanne fermée
Cuve
Vanne ouverte
A. P. M. E. P.
Récipient
h(t)
Figure AFigure B On considère alors la fonctionhqui à tout instanttexprimé en minutes, fait cor respondre la hauteur d’eauh(t), exprimée en mètres, dans le récipient. On choisit l’instant où l’on ouvre la vanne comme origine des temps et, à cet instantt=0, la hauteur d’eau dans le récipient est nulle. On admet que la fonctionhest définie et dérivable sur l’intervalle [0 ;+∞[ et qu’elle vérifie, pour tout nombre réeltde cet intervalle, la relation 1 ′ −t h(t)+2h(t)=e 2 ′ oùhdésigne la dérivée de la fonctionh. 1.On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par 1 −t g(t)=h(t)−e . 2 a.Démontrer quegest une solution de l’équation différentielle ′ (E)y+2y=0. b.Résoudre l’équation différentielle (E). c.Utiliser les résultats précédents et la condition initialeh(0)=0 pour dé 1¡ ¢ −t−2t montrer que, pour touttappartenant à [0 ;+∞[ :h(t)=e−e . 2 2.Étude des variations deh a.Déterminer la limite dehen+∞. ′ ′ b.Calculerh(t) et démontrer que pour tout réeltappartenant à [0 ;+∞[,h(t) −t a même signe que 2e−1. −t c.Étudier le signe de 2e−1 sur l’intervalle [0 ;+∞[, puis dresser le tableau de variations de la fonctionh. Calculerh(ln 2). 3.En déduire la hauteur minimale en millimètres que doit avoir le récipient pour que l’eau s’en écoule entièrement par le fond, c’estàdire sans déborder du récipient, lorsque la vanne reste ouverte.
PR O B L È M E10 points On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : 1 1 2 f(x)=4−ln 2−x+lnx 4 2 où ln désigne la fonction logarithme népérien. On désigne parCfla courbe repré ³ ´ −→−→ sentative defdans un repère orthonormalO,ı,du plan d’unité graphique 2 cm.
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Partie A : étude de la fonctionf
A. P. M. E. P.
1.Étude des limites. a.Déterminer limf(x) et en déduire que la courbeCfadmet une asymp x→0 tote dont on précisera une équation. b.Vérifier que pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[ on a : µ ¶ 1 1lnx f(x)=4−ln 2−x x−et en déduirelimf(x). x→+∞ 4 2x
2.Étude du signe defsur un intervalle 2 1−x ′ ′ a.Calculerf(x) et vérifier quef(x)=. 2x ′ b.Étudier le signe def(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et dresser le tableau des variations de la fonctionf. c.Calculerf(4) et en déduire que la fonctionfest positive ou nulle sur l’intervalle [1 ; 4]. 3.On désigne par A et B les points de la courbeCfd’abscisses respectives 1 et 4. a.Déterminer une équation de la tangente à la courbeCfen B. ³ ´ −→−→ b.Tracer les tangentes àCfaux points A et B puisCfO,dans le repèreı,.
Partie B On admet que, compte tenu de l’unité graphique utilisée, la longueurL, exprimée Ø en cm, de l’arc AB de la courbeCfest donnée par l’intégrale suivante : Z 4q ′2 L=2 1+[f(x)] dx. 1 µ ¶ 2 1x ′2 1.Démontrer que pour tout réelx>0 on a : 1+[f(x)]= +. 2x2 Ø 2.Calculer la valeur exacte de la longueur en cm de l’arc AB de la courbeCf, puis en donner un valeur approchée arrondie au mm.
Partie C On considère la régionAdu plan délimitée par la droite d’équationx=1, l’axe des Ø abscisses et l’arc AB de la courbeCf. 1.On considère la fonctionGdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parG(x)=xlnx−x. Démontrer que la fonctionGest une primitive de la fonctionx7→lnxsur l’in tervalle ]0 ;+∞[. 2 2.Calculer, en cm, la valeur exacte de l’aire deA(On utilisera le résultat de 2. 2 c. de la partie A), puis en donner une valeur approchée arrondie au mm.
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