Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin Génie électronique électrotechnique et optique

[BaccalauréatSTIAntilles–Guyane20juin2011\
Génieélectronique,électrotechniqueetoptique
EXERCICE 1 5points
?
Rappel:idésignelenombrecomplexedemodule1etd’argument .
2
¡ ¢!? !?
Leplanestmunidurepèreorthonormé O, u, v (unité:3cm).
1. Résoudre,dansl’ensembleCdesnombrescomplexes,l’équation(E):
29z ?6z?2?0.
3 3 1
2. OnconsidèrelepointAd’affixe z ? ? ietlepointBd’affixe z ? .Dé-A B
2 2 zA
terminerlaformealgébriquede z .B
3. Déterminerlemoduleetunargumentde z .A
Endéduirelemoduleetunargumentde z .B
¡ ¢!? !?
4. a. PlacerlespointsAetBdanslerepère O, u, v (faireunefiguresurpa-
piermillimétré).
b. MontrerqueletriangleAOBestrectangle.
? 1?i 08 05. SoitClepointd’affixe z ?e etC lepointd’affixe z ? .C C zC
0a. Donneruneformeexponentiellede z .C
0b. Montrer que le point C est l’image de C par la rotation de centre O et
?
d’angle .
4
1 1
6. SoitDlepointd’affixe z ?? ? i.D
3 3
Déterminerl’affixeduvecteurdelatranslationquitransformeDenA.
EXERCICE 2 5points
Ondisposed’undéenformedetétraèdrerégulier,c’est-à-diredontlesquatrefaces
sontdestriangleséquilatéraux. Chacunedecesfacesestrepéréeparunelettreins-
crite sur cette face (A, B, C ou D). Chacune des lettres figure sur une et une seule
face.
Quandledés’immobiliseaprèsunlancer,unedesfacesestcachéeetlestroisautres
sontvisibles;lerésultatdecelancerestlalettreinscritesurlafacecachéedudé.
Ledéestsupposéparfaitementéquilibré,c’est-à-direqu’àchaquelancerlesquatre
résultatspossiblessontéquiprobables.
Unjoueurlanceledédeuxfoisdesuite.Onconsidèrelesévènements suivants:
A :«lerésultatdupremierlancerestA»1
A :«lerésultatdusecondlancerestA»2
1. QuelleestlaprobabilitédeA ,évènementcontrairedeA ?1 1
2. Quelleestlaprobabilitédel’évènement A \A ?1 2
3. Quelleestlaprobabilitédel’évènement A \A ?1 2
4. Pourfaireunepartie(deuxlancerssuccessifs),lejoueurdoitpayer2euros.
SilerésultatAestobtenuauxdeuxlancers,lejoueurreçoit12(.
SilerésultatAestobtenuàunseuldesdeuxlancers,lejoueurreçoit3(.
SilerésultatAn’estobtenuàaucunlancer,lejoueurnereçoitrien.
SoitGlavariablealéatoirequi,àchaquepartiejouée,associelegain(positifou
négatif)dujoueur eneuros,tenantcomptedes2eurospayésetdelasomme
éventuellement reçue.BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechniqueetoptique A.P.M.E.P.
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a. Montrerque p(G??2)? .
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b. QuellessontlesvaleursprisesparG?
c. DonnerlaloideprobabilitédeG.
d. Quelleestlaprobabilitépourquelegaindujoueursoitpositif?
e. Calculerl’espérancemathématiquedeG.
PROBLÈME 10points
PartieA
4
T
Onconsidère la fonction h dont la courbe re-
présentativeC esttracéeci-contre.Ladroiteh
3
T est la tangente à la courbe C au pointh A
A de coordonnées (1; 3); cette droite coupe
l’axe des ordonnées au point B de coordon-
nées(0;1).Onadmetqu’ilexistedesnombres 2
réels a et b tels que, pour tout nombre réel x
dans]0;?1[,h(x)?alnx?b.
Dans la question suivante, toute recherche, 1
Bmêmeincomplète, ou initiative, même infruc-
tueuse,serapriseencomptedansl’évaluation:
Déterminerlesnombresréels a etb.
?1 1 2
Ch
?1
PartieB
Onconsidèrelafonction g définie,pourtoutréel x appartenantà]0;?1[,par:
g(x)?2xlnx?x?1.
01. Onnote g ladérivéedelafonction g.
0Montrerque,pourtout x appartenantà]0;?1[,ona g (x)?2lnx?3.
2. Résoudredans]0;?1[l’inéquation2lnx?3?0.
3. Déterminerleslimitesdelafonction g en0eten?1.
4. Dresserletableaudevariationsde g sur]0;?1[.Onyferafigurerleslimites
de g ainsiquesavaleuren1.
5. Prouver que g(x)?0 pour tout x appartenant à ]0; 1[ et g(x)?0pour tout x
appartenantà]1;?1[.
PartieC
Onconsidèrelafonction f définiepourtout x appartenantà]0;?1[par:
2f(x)?x lnx?x?1.
Onadmetquelalimitedelafonction f en0estégaleà1.
1. Enremarquantque f(x)?x(xlnx?1)?1pourtout x appartenantà]0;?1[,
calculerlalimitede f en?1.
Antilles–Guyane 2 20juin2011BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechniqueetoptique A.P.M.E.P.
2. a. Montrer que la fonction dérivée de f est la fonction g, définie dans la
partieB.
b. Endéduireletableaudevariationsde f.
3. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Pour chaque valeur,
oninscriradansletableaul’arrondiaucentième.
x 0,2 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x) 0
¡ ¢!? !?4. Dans le plan muni du repère orthonormé O, ı , | (unité : 2 cm), tracer la
courbeC représentative de la fonction f. On utilisera une feuille de papier
millimétré.
PartieD
SoitΔ la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbeC (construite
danslapartieC)etlesdroitesd’équationsrespectives x?1et x?2.
1. a. HachurerlapartieΔsurlegraphiqueconstruitdanslapartieC.
b. Parlecturegraphique,encadrerpardeux entiersconsécutifs l’aireA de
lapartieΔencentimètrescarrés.
2. On admet que la fonction F définie pour tout réel x appartenant à ]0 ; ?1[
par:
3 3 2x x x
F(x)? lnx? ? ?x
3 9 2
estuneprimitivedelafonction f définiedanslapartieC.
Déterminer la valeur exacte puis l’arrondi au millième de l’aireA deΔ en
centimètrescarrés.
Antilles–Guyane 3 20juin2011