Baccalauréat série S Centres étrangers juin
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2003
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat série S Centres étrangers juin 2003 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats On définit, pour tout entier naturel n > 0, la suite (un) de nombres réels strictement positifs par un = n2 2n . 1. Pour tout entier naturel n > 0, on pose vn = un+1 un a. Montrer que lim n?+∞ vn = 1 2 . b. Montrer que pour tout entier naturel n > 0, vn > 1 2 . c. Trouver le plus petit entier N tel que si n>N , vn < 3 4 . d. En déduire que si n>N , alors un+1 < 3 4 un . On pose pour tout entier naturel n> 5, Sn =u5+u6+·· ·+un . 2. On se propose de montrer que la suite (Sn)n>5 est convergente. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n> 5, un 6 ( 3 4 )n?5 u5. b. Montrer que pour tout entier naturel n> 5, Sn 6 [ 1+ 3 4 + ( 3 4 )2 +·+ ( 3 4 )n?5] u5. c. En déduire que pour tout entier naturel n> 5, Sn 6 4u5 .
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[ Baccalauréat série S Centres étrangers juin 2003 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats On définit, pour tout entier naturel n > 0, la suite (un) de nombres réels strictement positifs par un = n2 2n . 1. Pour tout entier naturel n > 0, on pose vn = un+1 un a. Montrer que lim n?+∞ vn = 1 2 . b. Montrer que pour tout entier naturel n > 0, vn > 1 2 . c. Trouver le plus petit entier N tel que si n>N , vn < 3 4 . d. En déduire que si n>N , alors un+1 < 3 4 un . On pose pour tout entier naturel n> 5, Sn =u5+u6+·· ·+un . 2. On se propose de montrer que la suite (Sn)n>5 est convergente. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n> 5, un 6 ( 3 4 )n?5 u5. b. Montrer que pour tout entier naturel n> 5, Sn 6 [ 1+ 3 4 + ( 3 4 )2 +·+ ( 3 4 )n?5] u5. c. En déduire que pour tout entier naturel n> 5, Sn 6 4u5 .
- position de la courbe
- repère orthonormal
- plans parallèles aux axes
- autocars entre l'entrepôt
- points réservé aux candidats
- repère
- loi exponentielle de para
- réel appartenant l'intervalle
- équation de la droite t0
- autocar
[Baccalauréat série S Centres étrangers juin 2003\
EX E R C IC E1 5points Commun à tous les candidats On définit, pour tout entier natureln>0, la suite (un) de nombres réels strictement 2 n positifs parun=. n 2 un+1 1.Pour tout entier natureln>0, on posevn= un 1 a.limMontrer quevn=. n→+∞ 2 1 b.Montrer que pour tout entier natureln>0,vn>. 2 3 c.Trouver le plus petit entierNtel que sin>N,vn<. 4 3 d.En déduire que sin>N, alorsun+1<un. 4 On pose pour tout entier natureln>5,Sn=u5+u6+ ∙ ∙ ∙ +un. propose de montrer que la suiest convergente. 2.te (On seSn)n>5 a.Montrer par récurrence que pour tout entier natureln>5, µ ¶ n−5 3 un6u5. 4 b.Montrer que pour tout entier natureln>5, · µ¶ µ¶ ¸ 2n−5 3 33 Sn61+ ∙ ++ +u5. 4 44 c.En déduire que pour tout entier natureln>5,Sn64u5. 3.Montrer que la suite (Sn) estcroissante et en déduire qu’elle converge. n>5
EX E R C IC Epoints2 6 Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhi cules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc. Un autocar part de son entrepôt. On noteDla variable alatoire qui mesure la dis tance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il survienne un inci 1 dent. On admet queDsuit une loi exponentielle de paramètreλ=, appelée aussi 82 loi de durée de vie sans vieillissement. On rappelle que la loi de probabilité est alors définie par : Z A 1 x − 82 p(D6A)=e dx. 082 Dans tout l’exercice, les résultats numériques seront arrondis au millime. 1.Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit : a.comprise entre 50 et 100 km ; b.supérieure à 300 km.
2.Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 kilomètres sans incident, quelle est la probabilité qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilo mètres ? 3.Détermination de la distance moyenne parcourue sans incident. Z A 1 x − a.Au moyen d’une intégration par parties, calculer I(A)=xe dx 82 082 oùAest un nombre réel positif. b.Calculer la limite de I(A) lorsqueAtend vers+∞. (Cette limite repré sente la distance moyenne cherchée). 4.L’entreprise possède N0autocars. Les distances parcourues par chacun des autocars entre l’entrepôt et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deuxdeux indépendantes et de même loi exponentielle de para 1 mètreλ=. 82 dtant un réel positif, on noteXla variable aléatoire égale au nombre d’auto d cars n’ayant subi aucun incident après avoir parcourudkilomètres. −λd a.Montrer queXdsuit une loi binomiale de paramètres N0.et e b.Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcourudkilomètres.
EX E R C IC E2 Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité z
L’espace (E) est muni d’un repère ³ ´ −→−→−→ orthonormal O,ı,,k. On considère la surfaceTd’équa 2 tion :x y=zavec−16x61 et−16y61. La figure cicontre est une repré sentation de la surfaceT, dans lex cube de centre O et de côté 2.
y
6 points
1.Éléments de symétrie de la surfaceT. ′ a.Montrer que si le pointM(x,y,z) appartient àT, alors le pointM(−x,y,z) appartient aussi àT. En déduire un plan de symétrie deT. b.Montrer que l’origine O du repère est centre de symétrie deT. 2.Intersections de la surfaceTavec des plans parallèles aux axes. a.Déterminer la nature des courbes d’intersection deTavec les plans pa rallèles au plan (xOz). b.Déterminer la nature des courbes d’intersection deTavec les plans pa rallèles au plan (yOz). 3.Intersections de la surfaceTavec les plans parallèles au plan (xOy) d’équa tionsz=k, aveck∈[0 ; 1]. a.Déterminer l’intersection de la surfaceTet du plan d’équationz=0.
2
b.Pourk>0 on noteKle point de coordonnées (0, 0,k). Déterminer, dans ³ ´ −→−→ le repèreK;ı,, l’équation de la courbe d’intersection deTet du plan d’équationz=k. ³ ´ −→−→ c.Tracer l’allure de cette courbe dans le repèreK;ı,. On précisera en particulier les coordonnées des extrémités de l’arc. 4.us la surfaceOn note (D) le domaine formé des points du cube unité situés so T.
2 (D)=M(x,y,z)∈(E) avec 06x61 ; 06y61 ; 06z6x y. a.Pour 0<k61, le plan d’équationz=kcoupe le domaine (D) selon une surface qu’on peut visualiser sur le graphique de laquestion 3 c. C’est l’ensemble des pointsMdu cube unité, de coordonnées (x,y,z) k tels quey>etz=k. 2 x Calculer en fonction dekl’aireS(k) exprimée en unités d’aire, de cette surface. b.On poseS(0)=1 ; calculer en unités de volume, le volumeVdu domaine (D). Z 1 On rappelle queV=S(k) dk. 0
PR O B L È M E On appellefla fonction définie sur l’intervalle I=]−2 ;+∞[ par
9 points
f(x)=1+xln(x+2). ³ ´ ¡ ¢ −→−→ On noteCfla courbe représentative defdans le repère orthonormalO,ı,. (unité graphique 4 cm). I. Étude de la fonctionf ′ 1.Étude des variations de la dérivéef. ′ ′′ a.fdésigne la fonction dérivée première defetfla fonction dérivée ′ ′′ seconde. Calculerf(x) puisf(x) pourxl’intervalleappartenant à ]−2 ;+∞[. ′ b.Étudier les variations defsur l’intervalle ]−2 ;+∞[. ′ c.Déterminer les limites defen−2 et en+∞. ′ 2.Étude du signe def(x). ′ a.Montrer que sur l’intervalle ]−2 ;+∞[ l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαappartenant à l’intervalle [−;0, 6−0, 5]. ′ b.En déduire le signe def(x) selon les valeurs dex. 3.Étude des variations def a.Étudier les variations de la fonctionfsur l’intervalle ]−2 ;+∞[. b.Déterminer les limites defen−2 et en+∞. c.Dresser le tableau de variation def. II. Position de la courbe(Cf) par rapport à ses tangentes ¡ ¢ ngenteC Soitx0l’intervalle ]un réel appartenant−2 ;+∞[ , on appelleTx0la taf au point d’abscissex0. On note, pourxappartenant à l’intervalle ]−2 ;+∞[, £ ¤ ′ d(x)=f(x)−f(x0)(x−x0)+f(x0) .
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1.Étude des variations ded.
a.Vérifier que, pour toutxappartenant à l’intervalle ]−2 ;+∞[,
′ ′′ d(x)=f(x)−f(x0). ′ ′ b.En utilisant la croissance de la fonctionf, donner le signe ded(x) selon les valeurs dex. En déduire les variations dedsur l’intervalle ]−2 ;+∞[. ¡ ¢ 2.Déterminer la position relat ive deCfet deTx0. ³ ´ −→−→ III. Tracés dans le repèreO,ı, ¡ ¢ 1.Déterminer une équation de la droiteT0, tangenteCfau point d’abscisse 0 ; tracerT0. 2.Trouver les réelsx0pour lesquels les tangentesTxpassent par l’origine du 0 repère puis tracer ces droites. ¡ ¢ 3.Tracer la courbeCfpour les valeurs dexcomprises entre−1 et 2. On pren dra pourαla valeur−0, 54et pourf(α) la valeur 0,8.
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