Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau
3
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Français
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1994
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau \ septembre 1994 EXERCICE 1 4 points Enseignement de spécialité 1. On considère dans le plan un cercle C de centre O et de rayon R. Soit M un point du plan et (D) une droite passant par M , et coupant le cercle C en deux points A et B . Soit A? le symétrique de A par rapport à O. Établir que ????MA ·????MB =????MA ·????MA? , et en déduire que ????MA ·????MB =MO2?R2. 2. Soit EFGH un quadrilatère inscrit dans un cercle, et dont les diagonales (EG) et (FH) se coupent en un point I. Démontrer la relation : ?? IE · ?? IG = ?? IF · ??? IH . 3. Soit C1 et C2 deux cercles de centres O11 et O2 distincts, de rayons R1 et R2. Déterminer l'ensemble E des points M du plan tels que MO21?R21 =MO22?R22 . Représenter C1, C2 et E pour R1 = 3 cm, R2 = 2 cm et O1O2 = 6 cm. EXERCICE 2 4 points Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . On désigne par s l'application qui à tout point M de P , de coordonnées (x ; y) as- socie le point M ? de coordonnées (x? ; y ?) tel que : { x? = ?x? y +2 y ? = x? y ?1.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau \ septembre 1994 EXERCICE 1 4 points Enseignement de spécialité 1. On considère dans le plan un cercle C de centre O et de rayon R. Soit M un point du plan et (D) une droite passant par M , et coupant le cercle C en deux points A et B . Soit A? le symétrique de A par rapport à O. Établir que ????MA ·????MB =????MA ·????MA? , et en déduire que ????MA ·????MB =MO2?R2. 2. Soit EFGH un quadrilatère inscrit dans un cercle, et dont les diagonales (EG) et (FH) se coupent en un point I. Démontrer la relation : ?? IE · ?? IG = ?? IF · ??? IH . 3. Soit C1 et C2 deux cercles de centres O11 et O2 distincts, de rayons R1 et R2. Déterminer l'ensemble E des points M du plan tels que MO21?R21 =MO22?R22 . Représenter C1, C2 et E pour R1 = 3 cm, R2 = 2 cm et O1O2 = 6 cm. EXERCICE 2 4 points Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . On désigne par s l'application qui à tout point M de P , de coordonnées (x ; y) as- socie le point M ? de coordonnées (x? ; y ?) tel que : { x? = ?x? y +2 y ? = x? y ?1.
- cercle
- ?? ig
- cosx sinx
- points enseignement de spécialité
- cercles de centres o11
- similitude plane directe
Durée : 4 heures
[Baccalauréat S Sportifs de hautniveau\ septembre 1994
EX E R C IC E1 Enseignement de spécialité
4 points
1.On considère dans le plan un cercleCde centre O et de rayonR. SoitMun point du plan et (D) une droite passant parM, et coupant le cercle Cen deux pointsAetB. ′ SoitAle symétrique de A par rapport à O. −−→−−→−−→−−−→−−→−−→ ′2 2 Établir queM A∙M B=M A∙M A, et en déduire queM A∙M B=MO−R. 2.Soit EFGH un quadrilatère inscrit dans un cercle, et dont les diagonales (EG) et (FH) se coupent en un point I. Démontrer la relation : −→ −→−→−→ I E∙I G=I F∙I H. 3.SoitC1etC2deux cercles de centres O11 et O2distincts, de rayonsR1etR2. Déterminer l’ensembleEdes pointsMdu plan tels que
2 22 2 MO−R=MO−R. 1 12 2 ReprésenterC1,C2etEpourR1=3 cm,R2=2 cm et O1O2=6 cm.
EX E R C IC Epoints2 4 ³ ´ −→−→ Le plan complexePO,est rapporté à un repère orthonormalu,v. On désigne parsl’application qui à tout pointMdeP, de coordonnées (x;y) as ′ ′′ socie le pointMde coordonnées (x;y) tel que : ½ ′ x= −x−y+2 ′ y=x−y−1. ′ ′ 1.Déterminer l’affixezdeMen fonction de l’affixezdeM. 2.Démontrer quesest une similitude plane directe. Préciser son angle, son rap port et son centre I. 3.Soitgl’application qui à tout pointMdePassocie l’isobarycentreGdes ′ ′′′ pointsM,M=s(M) etM=s(M). ′′ a.Calculer, en fonction de l’affixezdeM, les affixes des pointsMetG. b.Démontrer quegest une similitude plane directe. Quel est son centre ? c.Déterminer l’affixe du pointM0tel queg(M0)) soit le point O. ′ ′′ Reporter sur une figure les pointsM0,M,Mcorrespondants, ainsi que 0 0 le point I, centre de la similitudes.
PR O B L È M E
4 points
Partie A Soitα2un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ;π]. On considère la suite géo métriqueude premier termeu0=cosαet de raison sinα.
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
1.Exprimerunen fonction den, et déterminer la limite deunlorsquentend vers+∞. 2.Soit la suitesde terme généralsn=u0+u1+ ∙ ∙ ∙ +un. Exprimersnen fonction denet déterminer la limite desnlorsquentend vers +∞. Partie B ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormalO,ı,, d’unité 4 cm. 1.Tracer, sans justification, la courbeC0représentative de la fonctionS0définie · ¸ 3π sur ;2πparS0(x)=cosx. 2 · ¸ 3π 2.SoitS1; 2la fonction définie surπpar 2 S1(x)=cosx+cosxsinx. ′ Calculer la dérivée deS1et exprimerS(x) comme fonction de sinx. 1 · ¸ 3π ′ En déduire le signe deS(x) et les variations deS12sur ;π. 1 2 · ¸ 3π 3.SoitSla fonction définie sur; 2πpar 2 cosx S(x)=. 1−sinx · ¸ 3π Calculer la dérivée deS; en déduire les variations deS2sur ;π. 2 · ¸ 3π 4.Démontrer pourx∈; 2πles inégalités 2 S1(x)6S(x)6S0(x). Tracer les courbes représentativesC1de la fonctionS1etCde la fonctionS. Partie C Pour tout nombre entier natureln, on considère la fonctionSndéfinie sur [0 ; 2π] par ¡ ¢ n Sn(x)=cosx1+sinx+ ∙ ∙ ∙ +sinx, et on pose Z 2π In=Sn(x) dx. 3π 2 Z 2π 1.CalculerI0,I1ainsi queI=S(x) dx. 3π 2 Vérifier queI16I6I0. Comment les inégalités peuventelles être illustrées graphiquement ? 2.Montrer que, pour tout entier natureln, on a (I)n+ 1 n+1 (−1) In+1−In=. n+2 n+1 1 1(−1) En déduire queIn=1− + +∙ ∙ ∙ +. 2 3n+2
Sportifs de hautniveau
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septembre 1994
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
3.Soit les suitesAetBde termes générauxAn=I2netBn=I2n+1. Démontrer que : a.la suiteAest décroissante et la suiteBest croissante ; b.la suite de terme généralAn−Bnconverge vers 0. 4. a.Démontrer que, pour tout entier naturelnet pour tout réelxapparte · ¸ 3π nant à; 2πon a : 2 n+1 S(x)−Sn(x)=(sinx)S(x), puis que :
S2n+1(x)6S(x)6S2n(x).
b.En déduire que, pour tout entier natureln,
Bn6I6An. Démontrer queAetBconvergent versI.
Sportifs de hautniveau
3
septembre 1994
