Baccalauréat S Pondichéry juin
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1996
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Pondichéry juin 1996 \ EXERCICE 1 4 points Un fabricant de berlingots possède trois machines A, B et C qui fournissent respec- tivement 10%, 40% et 50% de la production totale de son usine. Une étude a montré que le pourcentage de berlingots défectueux est de 3,5% pour la machine A, de 1,5% pour la machine B et de 2,2% pour la machine C. Après fabrication, les berlingots sont versés dans un bac commun aux trois ma- chines. On choisit au hasard un berlingot dans le bac. 1. Montrer que la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C et soit défectueux est 0,011. 2. Calculer la probabilité que ce berlingot soit défectueux. 3. Calculer la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C sachant qu ?il est défectueux. 4. On prélève successivement dans le bac 10 berlingots en remettant à chaque fois le berlingot tiré dans le bac. Calculer la probabilité d ?obtenir aumoins un berlingot défectueux parmi ces 10 prélèvements. EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . 1. On considère trois points distincts A, B et C d'affixes respectives a, b et c. a. Interpréter géométriquement l'argument du quotient c?a b?a · b.
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[ Baccalauréat S Pondichéry juin 1996 \ EXERCICE 1 4 points Un fabricant de berlingots possède trois machines A, B et C qui fournissent respec- tivement 10%, 40% et 50% de la production totale de son usine. Une étude a montré que le pourcentage de berlingots défectueux est de 3,5% pour la machine A, de 1,5% pour la machine B et de 2,2% pour la machine C. Après fabrication, les berlingots sont versés dans un bac commun aux trois ma- chines. On choisit au hasard un berlingot dans le bac. 1. Montrer que la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C et soit défectueux est 0,011. 2. Calculer la probabilité que ce berlingot soit défectueux. 3. Calculer la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C sachant qu ?il est défectueux. 4. On prélève successivement dans le bac 10 berlingots en remettant à chaque fois le berlingot tiré dans le bac. Calculer la probabilité d ?obtenir aumoins un berlingot défectueux parmi ces 10 prélèvements. EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . 1. On considère trois points distincts A, B et C d'affixes respectives a, b et c. a. Interpréter géométriquement l'argument du quotient c?a b?a · b.
- berlingot tiré dans le bac
- c?a b?a
- affixe z2
- argument du quotient c?a
- berlingot
- points a2
- repère orthonormal direct
[Baccalauréat S Pondichéry juin 1996\
EX E R C IC E1 4points Un fabricant de berlingots possède trois machines A, B et C qui fournissent respec tivement 10 %, 40 % et 50 % de la production totale de son usine. Une étude a montré que le pourcentage de berlingots défectueux est de 3,5 % pour la machine A, de 1,5 % pour la machine B et de 2,2 % pour la machine C. Après fabrication, les berlingots sont versés dans un bac commun aux trois ma chines. On choisit au hasard un berlingot dans le bac. 1.Montrer que la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C et soit défectueux est 0,011. 2.Calculer la probabilité que ce berlingot soit défectueux. 3.Calculer la probabilité que ce berlingot provienne de la machine C sachant qu ?il est défectueux. 4.On prélève successivement dans le bac 10 berlingots en remettant à chaque fois le berlingot tiré dans le bac. Calculer la probabilité d ?obtenir au moins un berlingot défectueux parmi ces 10 prélèvements.
EX E R C IC Epoints2 4 Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal directO,u,v. 1.On considère trois points distincts A, B et C d’affixes respectivesa,betc. c−a a.Interpréter géométriquement l’argument du quotient∙ b−a c−a b.Montrer que A, B et C sont alignés si et seulement siest un nombre b−a réel. 2.Placer sur une figure (unité graphique : 1cm) les points A1, B1, et C1, d’affixes respectives : p a1=2,b−1=i 3,c1= −4+3i 3. Montrer, à l’aide de la propriété précédente, que les points A1, B1et C1sont alignés. 3.On considère les points A2, B2, C2, A3, B3, C3, tels que les quadrilatères OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3soient des carrés directs. a.Tracer les carrés OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3. b.Donner les affixesa3etb3des points A3et B3puis les affixesa2etb2des points A2et B2. π c.À l’aide de la rotation de centre O et d’angle, calculer l’affixec3de C3 2 à l’aide dec1. d.En déduire que les points A3, B3et C3sont alignés. © ª 4. a.Déterminer le réelµ(O,tel que le barycentre du systèmeµ), (C1, (, 1)C3, 1) soit C2∙ b.Calculer l’affixec2de C2. c.Montrer que les points A2, B2et C2sont alignés.
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
EX E R C IC E2 4points Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal directO,u,v. Cet exercice propose l’étude de l’ensemble (C) des pointsMdu plan dont les affixes vérifient :
2 2 |(1+i)z−3+3i| +|z−6| =54. 1. Premièreméthode a.En posantz=x+iy, donner l’équation cartésienne de (C). b.En déduire la nature de (C). c.Construire (C). 2. Deuxièmeméthode On désigne parsla similitude qui, au pointMd’affixez, associe le point M1=s(M) d’affixez1=(1+i)z−3+3i et on désigne partla translation qui, au pointMd’affixez, associe le pointM2=t(M) d’affixez2=z−6. a.Caractériser géométriquement ces deux transformations. b.Déterminer les antécédents respectifs S et T de O parsett. SM. TM SMTM c.Calculer le rapportpuis le rapport. OM1OM2 2 2 d.En déduire que (C) est la ligne de niveau définie par 2SM+TM=54. e.Calculer l’affixe du barycentre G du système {(S, 2), (T, 1)} 2 f.Montrer que l’ensemble (C) est défini parMG=8. g.En déduire la nature et les éléments qui déterminent (C).
PR O B L È M E12 points Sur la figure cidessus, sont représentées la courbe représentativeCdans une repère ³ ´ −→−→ orthonormal O,ı,, d’une fonctionfdéfinie et dérivable surRainsi que son asymptoteDet sa tangenteTau point d’abscisse 0.
T
4
3
2
1
C
D
O −5−4−3−2−2 31 1 −1
Pondichéry
−2
−3
−4
2
juin 1996
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
On sait que le pointJ(0 ; 1) est centre de symétrie de la courbeCet que l’asymptote Dpasse par les pointsK(−1 ;0) etJ, et que la tangenteTa pour équation réduite y=(1−e)x+1.
A Expression def
1.Déterminer une équation deD. 2.On suppose qu’il existe des réelsmetpet une fonctionϕdéfinie surRtelle que, pour toutxréel,f(x)=m x+p+ϕ(x) avec limx→ +∞ϕ(x)=0. a.Déterminermetp. b.Démontrer que pour toutxréel,f(x)+f(−x)=2. ′ c.En déduire que la fonctionϕest impaire puis que la fonctionf, dérivée def, est paire. 3.On suppose maintenant que, pour toutxréel :
2 −x ϕ(x)=(a x+b)e oùaetbsont des réels. Démontrer en utilisant les données et les résultats précédents quea= −e et queb=0. B On considère la fonctionfdéfinie surRpar : 2 −x+1 f(x)=1+x−xe . ³ ´ −→−→ On suppose que la courbeCreprésente la fonctionfdans le repèreO,ı,. 1. a.Vérifier que pour tout réelx: ¡ ¢2 ′2−x+1 f(x)=1+2x−1 e. ′ Calculerf(0). b.Vérifier queTest bien la tangente à la courbeCau point d’abscisse 0. étudier la position de la courbeCvis à vis de sa tangenteT. 2.Le graphique suggère l’existence d’un minimum relatif defsur l’intervalle [0 ; 1]. ′′3 a.Démontrer quef(x) est du signe de 6x−4x. ′ b.Démontrer que l’équationf(x)=0 admet une solutionαunique dans l’intervalle [0 ; 1]. c.Montrer que 0,51<α<0, 52. d.Exprimerf(α) sous la forme d’un quotient de deux polynômes. C Sur le graphique, la courbeCest très proche de son asymptote pour les points d’abs cisses supérieure à 2,4. Cette partie propose de préciser cette situation en calculant, pour tout réelλpositif ou nul, l’aireA(λ), exprimée en unités d’aire, du domaine limité parC,Det les droites d’équationsx=0 etx=λ. 1.ExprimerA(λ) en fonction deλ. 2.Déterminer la limite A deA(λ) quandλtend vers+∞. −2 3.À partir de quelle valeur deλaton|A(λ)−A|610 ?
Pondichéry
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juin 1996
