Baccalauréat S Polynésie juin
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2003
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Polynésie juin 2003 \ EXERCICE 1 4 points Partie A Dans l'espace muni d'un repère orthonormal ( O, ?? ı , ?? ? , ?? k ) , on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives : A(0 ; 0 ; 3), B(2 p 2 ; 0 ; ?1), C(? p 2 ; ? p 6 ; ?1), D(? p 2 ; p 6 ; ?1). 1. Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur. 2. On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; démontrer que RSTU est un parallélogramme de centre O. 3. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer. C A D B ?? ı ?? ? ?? k Partie B On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d'eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge. On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu'on lance un tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont visibles).
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[ Baccalauréat S Polynésie juin 2003 \ EXERCICE 1 4 points Partie A Dans l'espace muni d'un repère orthonormal ( O, ?? ı , ?? ? , ?? k ) , on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives : A(0 ; 0 ; 3), B(2 p 2 ; 0 ; ?1), C(? p 2 ; ? p 6 ; ?1), D(? p 2 ; p 6 ; ?1). 1. Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur. 2. On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; démontrer que RSTU est un parallélogramme de centre O. 3. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer. C A D B ?? ı ?? ? ?? k Partie B On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d'eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge. On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu'on lance un tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont visibles).
- respectifs b?ia
- affixe zf
- ?2ex sinx
- coefficient directeur de la tan
- triangle rectangle
- ?? ?
- papier millimétré
- triangle ocb en le triangle oad
- repère orthonormal direct
[Baccalauréat S Polynésie juin 2003\
EX E R C IC E14 points Partie A ³ ´ −→−→−→ Dans l’espace muni d’un repère orthonormalO,ı,,k, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives : p A(0 ; 0 ; 3), B(22 ; 0 ;−1), C(−2 ;−6 ;−1), D(−2 ;6 ;−1). 1.Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c’estàdire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur. 2.On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; démontrer que RSTU est un parallélogramme de centre O. 3.Ce parallélogramme atil des propriétés supplémentaires ? Expliquer. A
C
B
−→−→ ı k −→
D
Partie B On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d’eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge. On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu’on lance un tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont visibles). 1.Calculer la probabilité pour qu’au moins trois faces rouges soient visibles sur les trois tétraèdres. 2.Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur aucun té traèdre. 3.Calculer la probabilité de l’évènement E « les six faces rouges sont visibles ». 4.On répètenfois l’expérience qui consiste à lancer les trois tétraèdres. Calculer la probabilitépnpour que l’évènement E soit réalisé au moins une fois. Calculer limpn. n→+∞
EX E R C IC E2 (Obligatoire)5 points ³ ´ −→−→ Dans tout l’exercice, le planPun repère orthonormal directest rapporté àO,u,v. Les constructions seront faites sur papier millimétré. 1. a.Le point E a pour affixeZE=3+i et le point F a pour affixeZF=1+3i. Placer dansPles points E et F. b.Construire le point H tel que EHF soit un triangle rectangle isocèle direct ³ ´ −→−→π de sommet H, c’estàdire tel queHF ; HE=[2π]. [0,5 pt] 2
1
c.On désigne parZHl’affixe de H. µ ¶ 3+i−ZH3+i−ZHπ Montrer que=1 et que arg=[2π]. ¯ ¯ 1+3i−ZH1+3i−ZH2 En déduire que ZH=3+3i. 2.A, B, C et D sont quatre points du planP. B A
D
C a.Construire les triangles rectangles isocèles directs BIA, AJD, DKC et CLB d d d’angles droits respectifs BIA, AJD, DKC et CLB. b.Conjecturer la position relative des droites (IK) et (LJ) et le rapport des longueurs des segments [IK] et [LJ]. 3. a.On désigne para,betz1les affixes respectives des points A, B et I. µ ¶ b−z1b−z1π Montrer que=1 et arg=[2π]. ¯ ¯ a−z1a−z12 ia−b En déduire quez1=. i−1 b.Avec les points B, C et L d’affixes respectivesb,cetzL, exprimer sans démonstrationzLen fonction debetc. c.Avec les points C, D et K d’affixes respectivesc,detzK, exprimer de mêmezKen fonction decetd. Avec les points D, A et J d’affixes res pectivesd,aetzJexprimer de mêmezJen fonction deaetd. d.Montrer quezL−zJ=i (zK−zIJL) et (KI)). En déduire que les droites ( sont perpendicu[aires et que JL = KI.
EX E R C IC E2 (Spécialité)5 points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapportéun repère orthonormal directO,u,v, d’unité gra phique 2 cm. 1 On donne les points A, C, D etΩ, d’affixes respectives 1 + i, 1, 3 et 2+i. 2 Partie A
1.SoitCle cercle de centreΩpassant par A.
a.Montrer queCpasse par C et D. b.Montrer que le segment [AD] est un diamètre deC. c.Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure en plaçant les points A, C, D,Ωet tracerC. On note B la seconde intersection deCavec la droite (OA). d.Montrer que le point O est extérieur au segment [AB].
2
2.Montrer par un raisonnement géométrique simple que les triangles OAD et OCB sont semblables mais non isométriques. Soit S la similitude qui transforme le triangle OCB en le triangle OAD.
a.Montrer que S est une similitude indirecte différente d’une réflexion. b.Quel est le centre de S ?
Partie B 1. a.Déduire de la partieA 2que l’on a OA×OB = OC×OD. b.En déduire le module de l’affixezBdu point B. Déterminer un argument dezB. 2.Déterminer l’écriture complexe de S. 3.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de S◦S.
PR O B L È M E11 points Partie A x On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x)=e cosx. On appelleCfla repré sentation graphique defdans un repère orthogonal. 1.Montrer que pour tout réelx,
x x −e6f(x)6e . En déduire queCfadmet une asymptote au voisinage de−∞. Quelle est cette asymptote ? 2.Déterminer les abscisses des points d’intersection deCfavec l’axe des abs cisses. h i π π 3.On étudiefsur l’intervalle−;+. 2 2 h i π π Démontrer que pour tout relx∈ −;+on a : 2 2 ³ ´ π cosx−sinx=2 cosx+. 4 ′ ′ 4.Calculerf(x), oùfdsigne la fonction dérivée def. Montrer quefest crois h ih i π ππ π sante sur−;+et décroissante sur+;+. Dresser le tableau de va 2 44 2 h i π ππ π riations defsur−;+. Indiquer les valeurs prises parfen−, et 2 22 4 π . 2 h i π π 5.TracerCfsur l’intervalle−;+sur le graphique cidessous 2 2
3
6 5 4 2 3 2 1 1 0 0 −0, 75π−0, 5π−0, 25π0, 25π0, 5π0, 75π -1 -2 −1 -3 -4 −2 -5 -6 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2h-1i0 1 2 3 4 5 6 7 8 π1 6.Démontrer que, sur l’intervallel’équation0 ;f(x)=admet une solu 2 2 tion uniqueα. Trouver, à l’aide de la calculatrice, la valeur approchée décimale deαarrondie au centième. ′′ ′′x 7.On notefla fonction dérivée seconde def. Montrer quef(x)= −2e sinx. h i π π En déduire que, sur l’intervalle−;+, le coefficient directeur de la tan 2 2 genteCfau point d’abscissexatteint, pourx=0, une valeur maximale que l’on précisera. Trouver l’équation de la tangente TCfen 0 et tracer T sur le graphique de la question 5.
Partie B Z π x Pour tout entier natureln, on poseIn=e cos(n x) dx. 0 n 1.Montrer que, pour tout entier natureln, cos(nπ)=(−1) etque sin(nπ)=0. 2.À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que :
nπ (−1) e−1 In=. 2 1+n π e+1 3.Montrer que, pour tout entier naturel|In|6lim. En déduireIn. 2 n→+∞ 1+n Partie C On considère les équations différentielles ′ (E)y−2y−1=0
′ ′x (E )y−2y=1−e sinx oùyest une fonction définie et dérivable surR. Dire, en le justifiant, si les assertions suivantes sont vraies ou fausses : 1.(E) admet une fonction polynôme du premier degré comme solution. 2.Soitgune fonction positive définie surR; sigest solution de (E) alors elle est croissante sur D.
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1 2x 3.La fonctionx7→3e+est une solution de (E). 2 ′ 4.La primitiveFdef).qui s’annule en 0 est une solution de (E
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