Baccalauréat S obligatoire Polynésie septembre

[BaccalauréatS(obligatoire)Polynésie\
septembre2010
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats
Pourchacunedespropositionssuivantes,indiquersielleestvraieoufausseetdonner
une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte
aucunpoint.
1. Onconsidèrelasuite(t )définiepourtoutentiernatureln par:n
1
t =0etpourtoutentiernatureln, t =t + .0 n+1 n
(n+1)(n+2)
n
Proposition1:Pourtoutentiernatureln, t = .n
n+1
2. Onconsidèretroissuites(u ), (v )et(w )définiessurNtellesque:n n n
pourtoutentiernatureln, u 6w 6v .n n n
Proposition2 : Siles suites u et v sont adjacentes alorsla suite w est( ) ( ) ( )n n n
convergente.
3. Soient f etg deuxfonctionsdéfiniesetcontinuessurl’intervalle[0;1].
Z Z1 1
Proposition3:Si f(x)dx= g(x)dx alors f =g surl’intervalle[0;1].
0 0
EXERCICE 2 5points
Communàtouslescandidats
³ ´→− →−
Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthonormédirect O, u , v (unité:1cm).
Onferaunefigurequel’oncompléteraaufuretàmesuredesquestions.
OnconsidèrelespointsA,B,SetΩd’affixesrespectives a=−2+4i, b=−4+2i,
s=−5+5ietω=−2+2i.
Soith l’homothétiedecentreSetderapport3.
OnappelleCl’imagedupointAparh etDl’imagedupointBparh.
1. a. Déterminerl’écriturecomplexedeh.
b. DémontrerquelepointCapouraffixec=4+2ietquelepointDapour
affixed=−2−4i.
2. DémontrerquelespointsA,B,CetDsontsurunmêmecercledontonpréci-
seralecentreetlerayon.
3. Démontrerqueladroite(SΩ)estlamédiatricedusegment[AB].
4. SoitPlemilieudusegment[AC].
a. Déterminerl’affixep dupointP.
³ ´ω−p 1 −−→ −−→
b. Démontrerque =− i.Endéduireunemesuredel’angle BD ; PΩ .
d−b 2
5. SoitQlemilieudusegment[BD].
QuereprésentelepointΩpourletrianglePQS?BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d’un sac
contenantuneboulenoireet9boulesblanches,puisàlancerundébienéquilibréà
sixfacesnumérotéesde1à6.
Silaboulenoireesttirée,ilfautobtenirunnombrepairavecledépourgagner.Sila
boulenoiren’estpastirée,ilfautobtenirunsixavecledépourgagner.
OnappelleNl’évènement «laboulenoirefigureparmilesboulestirées»etGl’évè-
nement«lejoueurgagne».
1. a. Déterminerlaprobabilitédel’évènement N.
3
b. Démontrerquelaprobabilitédel’évènementGestégaleà .Onpourra
10
s’aiderd’unarbrepondéré.
c. Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu’il ait tiré la boule
noire?
2. Pourjoueràcejeu,unemisededépartdemeurosestdemandée,oùmestun
réelstrictementpositif.
Silejoueurgagne,ilreçoit4euros.
S’ilnegagnepasmaisqu’ilatirélaboulenoire,lejoueurrécupèresamise.
S’ilnegagnepasetqu’iln’apastirélaboulenoire,lejoueurperdsamise.
Onappelle X lavariablealéatoiredonnantlegainalgébriquedujoueur.
a. DéterminerlaloideprobabilitédeX.
b. Exprimerl’espérancemathématiquedeX enfonctiondem.
c. On dit que le jeu est équitable si l’espérance mathématique de X est
nulle.
Déterminerm pourquelejeusoitéquitable.
3. Soitn unentiernaturelnonnul.
Onjouen foisàcejeusachantqu’aprèschaquepartielesboulessontremises
danslesac.
Déterminerlavaleurminimaleden pourlaquellelaprobabilitédegagnerau
moinsunefoisestsupérieureà0,999.
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
Partie1
x xSoitg lafonctiondéfiniesur[0;+∞[par g(x)=e −xe +1.
1. Déterminerlalimitedeg en+∞.
2. Étudierlesvariationsdelafonction g.
3. Donnerletableaudevariationsdeg.
4. a. Démontrerquel’équation g(x)=0admetsur[0;+∞[uneuniquesolu-
tion.Onnoteαcettesolution.
−2b. Àl’aidedelacalculatrice,déterminerunencadrementd’amplitude10
deα.
1
αc. Démontrerquee = .
α−1
5. Déterminerlesignedeg(x)suivantlesvaleursdex.
Polynésie 2 septembre2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Partie2
4x
Soit A lafonctiondéfinieetdérivablesur[0;+∞[telleque A(x)= .
xe +1
′1. Démontrerquepourtoutréelx positifounul, A (x)alemêmesignequeg(x),
oùg estlafonctiondéfiniedanslapartie1.
2. Endéduirelesvariationsdelafonction A sur[0;+∞[.
Partie3
4
Onconsidèrelafonction f définiesur[0;+∞[par f(x)= .
xe +1 ³ ´→− →−
Onnote(C)sacourbereprésentativedansunrepèreorthonormé O, ı ,  .
Lafigureestdonnéeenannexe.
Pourtoutréelx positifounul,onnote:
M lepointde(C)decoordonnées(x ; f(x)),
P lepointdecoordonnées(x ; 0),
Q lepointdecoordonnées(0; f(x)).
1. Démontrerquel’airedurectangleOPMQ estmaximalelorsqueM apourabs-
cisseα.
Onrappellequeleréelαaétédéfinidanslapartie1.
2. Lepoint M apourabscisseα.
Latangente(T)enM àlacourbe(C)est-elleparallèleàladroite(PQ)?
Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiative,
mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
Polynésie 3 septembre2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
ANNEXE
Cettepageneserapasàrendreaveclacopie.
Exercice4
y
2
1
C
O
x
−1 1 2 3
−1
−2
Polynésie 4 septembre2010