Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2006
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2006 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d'un pays. Elle touche 0,5% de ce cheptel (ou 5 pour mille). 1. On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu'il soit malade ? 2. a. On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle X la va- riable aléatoire égale au nombre d'animaux malades parmi eux. Montrer que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique. b. On désigne par A l'évènement « aucun animal n'est malade parmi les 10 ». On désigne par B l'évènement « au moins un animal est malade parmi les 10 ». Calculer les probabilités de A et de B 3. On sait que la probabilité qu'un animal ait un test positif à cette maladie sa- chant qu'il est malade est 0,8. Lorsqu'un animal n'est pas malade, la probabi- lité d'avoir un test négatif est 0,9. On note T l'évènement « avoir un test positif à cette maladie » et M l'évènement « être atteint de cette maladie ». a. Représenter par un arbre pondéré les données de l'énoncé.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2006 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d'un pays. Elle touche 0,5% de ce cheptel (ou 5 pour mille). 1. On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu'il soit malade ? 2. a. On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle X la va- riable aléatoire égale au nombre d'animaux malades parmi eux. Montrer que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique. b. On désigne par A l'évènement « aucun animal n'est malade parmi les 10 ». On désigne par B l'évènement « au moins un animal est malade parmi les 10 ». Calculer les probabilités de A et de B 3. On sait que la probabilité qu'un animal ait un test positif à cette maladie sa- chant qu'il est malade est 0,8. Lorsqu'un animal n'est pas malade, la probabi- lité d'avoir un test négatif est 0,9. On note T l'évènement « avoir un test positif à cette maladie » et M l'évènement « être atteint de cette maladie ». a. Représenter par un arbre pondéré les données de l'énoncé.
- écriture complexe de s? ?
- solution réelle
- repère orthonormal
- ab- sence de réponse
- réponse inexacte
- nature du polygone abcdef
- angle
- affixe du point a?
Durée : 4 heures
[Baccalauréat S NouvelleCalédonie novembre 2006\
EX E R C IC E1 4points Commun à tous les candidats Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d’un pays. Elle touche 0,5% de ce cheptel (ou 5 pour mille). 1.robabilité qu’ilOn choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la p soit malade ? 2. a.On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelleXla va riable aléatoire égale au nombre d’animaux malades parmi eux. Montrer queXsuit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique. b.i lesOn désigne par A l’évènement «aucun animal n’est malade parm 10 ». On désigne par B l’évènement « au moins un animal est malade parmi les 10 ». Calculer les probabilités de A et de B 3.On sait que la probabilité qu’un animal ait un test positif à cette maladie sa chant qu’il est malade est 0,8. Lorsqu’un animal n’est pas malade, la probabi lité d’avoir un test négatif est 0,9. On note T l’évènement « avoir un test positif à cette maladie » et M l’évènement « être atteint de cette maladie ». a.Représenter par un arbre pondéré les données de l’énoncé. b.Calculer la probabilité de l’évènement T. c.Quelle est la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif ?
EX E R C IC E2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Les parties A et B sont indépendantes
On considère l’équation (E)
3 2 z−(4+i)z+(7+i)z−4=0
5 points
oùzdésigne un nombre complexe. Partie A 1. a.Montrer que (E) admet une solution réelle, notez1. b.Déterminer les deux nombres complexesaetbtels que, pour tout nombre complexezon ait : 3 2 z−(4+i)z+(7+i)z−4=(z−z1) (z−2−2i)(a z+b) 2.Résoudre (E).
Partie B ³ ´ −→−→ Dans le plan muni dun repère ort.honormal directO,u,v, on considère les trois points A, B et C d’affixes respectives 1, 2+2i et 1−i. 1.Représenter A, B et C.
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
2+2i 2.. En déduire la nature du triDéterminer le module et un argument de 1−i angle OBC. 3.Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC ? Justifter votre affirmation. π 4.Soit D l’image de O par la rotation d’angle−et de centre C. Déterminer l’af 2 fixe de D. 5.Quelle est la nature de OCDB ?
EX E R C IC Epoints2 5 Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormal directO,u,v. (unité 1 cm). On construira une figure que l’on complétera au fur et mesure. π 1.Soit A le point d’affixe 3, etrla rotation de centre O et d’angle. On note B, 3 C, D, E et F les images respectives des points A, B, C, D et E par la rotationr. 3 33 Montrer que B a pour affixe+i. 2 2 2.Associer à chacun des points C, D, E et F l’une des affixes de l’e nsemble suivant ( ) p 3 33 33 33 33 −3 ;− +i ;−i ;− −i 2 22 22 2
3. a.Déterminerr(F). b.Quelle est la nature du polygone ABCDEF ? 1π ′ 4.Soits. Soitet d’anglela similitude directe de centre A, de rapportsla 2 3 similitude directe de centre E transformant F en C. ′ a.Déterminer l’angle et le rapport des. En déduire l’angle et le rapport de ′ s◦s. ′ b.Quelle est l’image du point D pars◦s? ′ c.Déterminer l’écriture complexe des◦s. ′ 5.Soit Ale symétrique de A par rapport à C. ′ ′ a.Sans utiliser les nombres complexes, déterminers(A ) puis l’image de A ′ pars◦s. ′ b.Calculer l’affixe du point A . Retrouver alors le résultat dua.en utilisant ′ l’écriture complexe des◦s.
EX E R C IC E3 5points Commun à tous les candidats Soit la suite (un) définie pour tout entier naturelnpar : µ ¶ 1 12 u0=etun+1=un+ 2 2un 1. a.Soitfla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par µ ¶ 1 2 f(x)=x+ 2x Étudier le sens de variation def, et tracer sa courbe représentative dans ³ ´ −→−→ le plan muni d’un repère orthonormalO,ı,. (On prendra comme unité 2 cm).
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Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
b.Utiliser le graphique précédent pour construire les points A0, A1, A2et ³ ´ −→ A3de l’axeO ;ıd’abscisses respectivesu0,u1,u2etu3. 2. a.Montrer que pour tout entier naturelnnon nulun>2. b.Montrer que pour toutx>2,f(x)6x. c.En déduire que la suite (un) est décroissante à partir du rang 1. d.Prouver qu’elle converge. 3.Soitℓla limite de la suite (un). Montrer queℓest solution de l’équation µ ¶ 1 2 x=x+ 2x En déduire sa valeur.
EX E R C IC E4 6points Commun tous les candidats Première partie ³ ´ −→−→−→ L’espace est rapporté à un repère orthonormalO,ı,,k. On considère : – lespoints A(0 ; 0 ; 3), B(2 ; 0 ; 4), C(−1 ;2) et D(1 ;1 ;−4 ;0) – lesplans (P1) : 7x+4y−3z+9=0 et (P2) :x−2y=0. – lesdroites (Δ1) et (Δ2) définies par leurs systèmes d’équations paramétriques respectifs ′ x= −1+t x=7+2t ′ ′ y= −8+2t t∈Ry=8+4t t∈R ′ z= −10+5t z=8−t Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat in diquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte0, 5point ; une réponse inexacte enlève0, 25point ; l’ab sence de réponse est comptée0point. Si le total est négatif, la note est ramenée à0. a. b. e. d. 1. Le plan (P) estLe plan (BCD)Le plan (ABC)Le plan (ABD)Le plan (ACD) 1 2. La droite (Δ) Lepoint ALe point BLe point CLe point D 1 contient 3. Position relative de(Δ) est(Δ() est incluseΔ) coupe (P) (Δ) est 1 11 11 (P) et de (Δdans () strictementPà) orthogonale 1 21 parallèle a (P) (P) 1 1 4. Position relative de(Δ() estΔ) et (Δ) (Δ) et (Δ() )Δ) et (Δ) 1 12 12 12 (Δ) et de (Δ) strictementsont sontsécantes sontnon 1 2 parallèle à (Δcoplanaires.) confondues 2 x=t x=2t x=5t x= −1+t 1 5. L’intersection dey= −2+y=t y=1−2t y=2+t 2 z=3+6t z=t z= −3t (P) et de (P) est 1 2z=3t une droite dont une représentation para métrique est
Deuxième partie ³ ´ −→−→−→ L’espace est rapporté à un repère orthonormaiO,ı,,k. On considère la droite −→ (D) passant par A(0 ; 0 ; 3) et dont un vecteur directeur estu(1 ; 0 ;−1) et la droite −→ ′ (D ) passant par B(2; 0 ; 4) et dont un vecteur directeur estv; 1).(0 : 1 L’objectif est de démontrer qu’il existe une droite unique perpendiculaire à la fois à ′ (D) et à (D ), de la déterminer et de dégager une propriété de. cette droite.
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A. P. M. E. P.
′ ′ 1.On considère un pointMappartenant à (D) et un pointMappartenant à (D ). −−→−→−−→→− ′ définis par AM=a uet BM=b v, oùaetbsont de nombres réels. −−−→ ′ ′ Exprimer les coordonnées deM, deMpuis du vecteurM Men fonction de aetb. ′ ′ 2.Démontrer que la droite (M M) est perpendiculaire à (D) et à (D ) si et seule ment. si le couple (a;b) est solution du système ½ 2a+b=1 a+2b= −1
3.Résoudre ce système. En déduire les coordonnées des deux uniques pointsM ′ ′ etM, que nous noterons ici H et H’, tels que la droite (HH) soit bien perpen ′ ′ diculaire commune à (D) et à (D ). Montrer que HH=3 unités de longueur. ′ 4.On considère un pointMquelconque de la droite (D) et un pointMquel ′ conque de la droite (D ). a.En utilisant les coordonnées obtenues à la question 1, démontrer que
′2 22 2 M M=(a+b)+(a−1)+(b+1)+3. ′ ′ b.En déduire que la distanceM Mest minimale lorsqueMest en H etM ′ est en H .
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