Baccalauréat S Nouvelle Calédonie novembre
3
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Français
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2002
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Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2002 Exercice 1 5 points Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d'uneurne contenant six boules blanches et quatre boules rouges. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 ( ; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 ( et si une seule est rouge il gagne 4 (. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien. Soit X la variable alatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d'un jeu. 1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . 2. Pour un jeu, la mise est de 10 (. Le jeu est-il favorable au joueur, c'est-à-dire l'espérance mathématiques est-elle strictement supérieure à 10 ? 3. Pour l'organisateur, le jeu ne s'avérant pas suffisamment rentable, celui-ci en- visage deux solutions : – soit augmenter la mise de 1(, donc passer à 11 (, – soit diminuer chaque gain de 1 (, c'est-à-dire ne gagner que 99 (, 14 ( ou 3(. Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur ? Exercice 2 5 points Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 1.
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Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2002 Exercice 1 5 points Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d'uneurne contenant six boules blanches et quatre boules rouges. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 ( ; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 ( et si une seule est rouge il gagne 4 (. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien. Soit X la variable alatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d'un jeu. 1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . 2. Pour un jeu, la mise est de 10 (. Le jeu est-il favorable au joueur, c'est-à-dire l'espérance mathématiques est-elle strictement supérieure à 10 ? 3. Pour l'organisateur, le jeu ne s'avérant pas suffisamment rentable, celui-ci en- visage deux solutions : – soit augmenter la mise de 1(, donc passer à 11 (, – soit diminuer chaque gain de 1 (, c'est-à-dire ne gagner que 99 (, 14 ( ou 3(. Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur ? Exercice 2 5 points Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 1.
- unités gra- phiques
- ranger par ordre croissant
- complexes z
- loi de la probabilité de la variable aléatoire
- pointd d'affixe zd
- repère orthonormal direct
Baccalauréat S NouvelleCalédonie novembre 2002
Exercice 15 points Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d’une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100(; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15(et si une seule est rouge il gagne 4(. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien. SoitXla variable alatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d’un jeu. 1.Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoireX. 2.Pour un jeu, la mise est de 10(. Le jeu estil favorable au joueur, c’estàdire l’espérance mathématiques estelle strictement supérieure à 10 ? 3.Pour l’organisateur, le jeu ne s’avérant pas suffisamment rentable, celuici en visage deux solutions : – soitaugmenter la mise de 1(, donc passer à 11(, – soitdiminuer chaque gain de 1(, c’estàdire ne gagner que 99(, 14( ou 3(. Quelle est la solution la plus rentable pour l’organisateur ?
Exercice 25 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 1.On considère le polynômePde la variable complexez, défini par : ³ ´³ ´ 3 2 P(z)=z+14−i 2z+74−14i 2z−74i 2. a.Déterminer le nombre réelytel que iysoit solution de l’équation P(z)=0. b.Trouver deux nombres réelsaetbtels que, pour tout nombre complexe ¡p¢¢ ¡ 2 z, on aitP(z)=z−i 2z+a z+b c.Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes, l’équation P(z)=0. ³ ´ −→−→ 2.Le plan complexe est rapporté àO,un repère orthonormal directu,v. On prendra 1 cm pour unité graphique. a.Placer les points A, B et I d’affixes respectiveszA= −7+5i ;zB= −7−5i et p zI=i 2. b.ntre O etDéterminer l’affixe de l’image du point I par la rotation de ce π d’angle−. 4 c.Placer le point C d’affixezC=1+i. Déterminer l’affixe du point N tel que ABCN soit un paralllogramme. zA−zC d.Placer le point D d’affixezD=1+11i . CalculerZ=sous forme al zD−zB gébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ABCD.
Exercice 25 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité On considère deux entiers naturels, non nuls,xetypremiers entre eux. On poseS=x+yetP=x y.
1. a.Démontrer quexetSsont premiers entre eux, de même queyetS. b.En déduire queS=x+yetP=x ysont premiers entre eux. c.Démontrer que les nombresSetPsont de parités différentes (l’un pair, l’autre impair). 2.re croissant.Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ord 3.Trouver les nombres premiers entre euxxetytels que :SP=84. 4.Déterminer les deux entiers naturelsaetbvérifiant les conditions suivantes : ½ a+b=84 avecd=pgcd(a;b) 3 ab=d (On pourra posera=d xetb=d yavecxetypremiers entre eux)
Problème10 points ³ ´ −→−→ Le planPest rapporté àO,un repère orthonormal directı,. (Unités gra phiques : 2 cm). Partie A On considère la fonctionfdéfinie surRpar x − f(x)=(3+x)e . 2 1.Déterminer les limites defen−∞, puis en+∞. 2.Étudier les variations defsurRet dresser son tableau de variations. ³ ´ −→−→ 3.Construire la courbe (Γ) représentative defdans O,ı,. Z 0 x − 4.À l’aide d’une intégration par parties, calculer I =xe dxet en déduire 2 −3 l’aire, en unités d’aire, du domaine défini par les couples (x,y) tels que 06y6f(x) etx60. 5. a.Démontrer que l’équationf(x)=3 admet deux solutions dansR. 3 Soitαla solution non nulle, montrer que :−2<α< −. 2 b.Plus généralement, déterminergraphiquementsuivant les valeurs du nombre réelm, le nombre de solutions de l’équationf(x)=m.
Partie B x 2 On considère la fonctionϕdéfinie surRparϕ(x)=3e−3. 1.Démontrer quef(x)=3 si et seulement siϕ(x)=x ′ ′′ 2.Soitϕetϕ(x) les dérivées première et seconde de la fonctionϕ. α+3 ′ ′′′ a.Calculer, pour tout réelx,ϕ(x) etϕ(x). Justifier queϕ(α)=. 2 ′ b.Étudier le sens de variation deϕ, puis celui deϕ. c.On se place désormais dans l’intervalle I = [−2 ;α]. 3.Montrer que, pour toutx;appartenant I a.ϕ(x) appartient1. 1 3 ′ b.6ϕ(x)6 2 4 c.En déduire, à l’aide d’une intégration, que pour toutxde l’intervalle I, on a : 1 3 06(α−x)6ϕ(α)−ϕ(x)6(α−x). 2 4
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4.On considère la suite (un) définie surNpar : ½ u0= −2 un+1=ϕ(un−1) a.Démontrer par récurrence que, pour tout entiern,unappartient à l’in tervalle I. b.Justifier que, pour tout entiern, µ ¶ n 3 3 06α−un+16(α−unque 0) puis6α−un6. 4 4 c.En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite. µ ¶ p 3 −2 d.Déterminer le plus petit entierptel que :610 . 4 −2 Donner une approximation décimale10 prèsdeup, à l’aide d’une cal −2 culatrice, puis une valeur approchée deαà 2×10 près.
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