Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie décembre
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Français
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2001
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie décembre 2001 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Partie I L'espace E est rapporté à un repère orthonormal ( O, ?? ı , ?? ? , ?? k ) . Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : (?1 ; 0 ; 2), (3 ; 2 ; ?4), (1 ; ?4 ; 2), (5 ; ?2 ; 4). On considère les points I, J et K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD] et ?? BJ = 1 4 ??? BC . 1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K. 2. a. Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés. b. Justifier qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : 8x+9y +5z?12 = 0. c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et mon- trer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées. d. Montrer que : ?? AL = 1 4 ??? AD . Partie II Plus généralement, dans l'espace E, on considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, J, K et L définis par I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du seg- ment [
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[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie décembre 2001 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Partie I L'espace E est rapporté à un repère orthonormal ( O, ?? ı , ?? ? , ?? k ) . Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : (?1 ; 0 ; 2), (3 ; 2 ; ?4), (1 ; ?4 ; 2), (5 ; ?2 ; 4). On considère les points I, J et K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD] et ?? BJ = 1 4 ??? BC . 1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K. 2. a. Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés. b. Justifier qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : 8x+9y +5z?12 = 0. c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et mon- trer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées. d. Montrer que : ?? AL = 1 4 ??? AD . Partie II Plus généralement, dans l'espace E, on considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, J, K et L définis par I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du seg- ment [
- droites d'équations respectives
- courbe
- courbe représentative dans le plan rapporté
- point d'affixe za
- milieu de segment
- ?? al
- points enseignement obligatoire
[Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie décembre 2001\
EX E R C IC Epoints1 5 Commun à tous les candidats Partie I ³ ´ −→−→−→ L’espace E est rapporté à un repère orthonormalO,ı,,k. Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : (−;; 21 ;2), (30 ;−4), (1;−4 ; 2),(5 ;−2 ; 4). On considère les points I, J et K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le −→1−→ milieu du segment [CD] et BJ=BC . 4 1.Déterminer les coordonnées des points I, J et K. 2. a.Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés. b.Justifier qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est : 8x+9y+5z−12=0.
c.Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et mon trer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées. d.Montrer que : −→1−→ AL=AD . 4 Partie II Plus généralement, dans l’espace E, on considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, J, K et L définis par I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du seg ment [CD]. −→1−−→→1−→ AL=AD etBJ=BC 4 4 Soit G le barycentre de (A, 3), (B, 3), (C, 1), D, 1). 1.Déterminer les barycentres de (A, 3), (D, 1) et le barycentre de (B, 3), (C, 1). 2., montrer queEn associant les points A, B, C et D de deux façons différentes G appartient aux droites (IK) et (JL). En déduire que les points I, J, K et L sont coplanaires.
EX E R C IC Epoints2 5 Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v, unité gra phique : 4 cm. Dans l’ensembleCdes nombres complexes, i désigne le nombre de π module 1 et d’argument. 2 Soit A le point d’affixezA= −i et B le point d’affixezB= −2i. On appellefl’application qui, à tout pointMd’affixez,Mdistinct de A, associe le iz−2 ′ ′′ pointMd’affixezdéfinie parz=. z+i ′ 1.Démontrer que, sizest un imaginaire pur,z6= −i, alorszest imaginaire pur. 2.Déterminer les points invariants par l’applicationf.
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
′ ¯ ¯ 3.Calculerz−i× |z+i|. Montrer que, quand le pointMdécrit le cercle de centre A et de rayon 2, le ′ pointMreste sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. 2 2 4. a.Développer (z+i) ,puis factoriserz+2iz−2. ′ b.Déterminer et repréenter l’ensemble des pointsM, tels queMsoit le symétrique deMpar rapport à O. ′ 5.Déterminer et représenter l’ensemble E des pointsM, tels que le module dez soit égal à 1. µ ¶ i (z−zB) ′ On pourra remarquer quez=. z−zA
EX E R C IC E2 Enseignement de spécialité
Partie I
5 points
Soitxun nombre réel. ¡ ¢ 2 4 22 1.Montrer quex+4=x+2−4x. 4 2.En déduire quex+4 peut s’écrire comme produit de deux trinômes à coeffi cients réels.
Partie II Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2. 2 2 On considère les entiersA=n−2n+2 etB=n+2n+2 etdleur PGCD. 4 1.Montrer quen+4 n’est pas premier. 2.Montrer que, tout diviseur deAqui divisen, divise 2. 3.Montrer que, tout diviseur commun deAetB, divise 4n. 4.Dans cette question on suppose quenest impair. a.Montrer queAetBsont impairs. En déduire quedest impair. b.Montrer queddivisen. c.En déduire queddivise 2, puis queAetBsont premiers entre eux. 5.On suppose maintenant quenest pair. 2 a.Montrer que 4 ne divise pasn−2n+2. b.Montrer quedest de la formed=2p, oùpest impair. c.Montrer quepdivisen. En déduire qued=2. (On pourra s’inspirer de la démonstration utilisée à la question4)
PR O B L È M E5 points On considère la fonctionfdéfinie surRpar : ¡ ¢ 2−x f(x)=x−x+4x+.3 e On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère or ³ ´ −→−→ thonormal O,ı,; l’unité graphique est 2 cm.
NouvelleCalédonie
Partie A Étude d’une fonction auxiliaireg
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Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
Soit la fonctiongdéfinie surRpar : ¡ ¢ 2−x g(x)=x+2x−1 e+1. 1.Étudier les limites degen+∞et en−∞. ′ ′2 2.calculerg(x) et montrer queg(x) et (3−x) ont le même signe. 3.En déduire le tableau de variations deg. 4. a.Montrer que l’équationg(x)=0 admet deux solutions dansR. Vérifier queg(0)=0. On noteαla solution non nulle. b.Prouver que−2, 4<α< −2, 3. 5.En déduire le signeg(x) suivant les valeurs dex.
Partie B Étude de la fonctionf
1.Déterminer les limites defen−∞et en+∞. ′ 2. a.Montrer que, pour tout réelx,f(x)=g(x). b.Dresser le tableau de variations de la fonctionf. 3.Démontrer que la droite (D) d’équationy=x, est asymptote à la courbe (C). 4. a.Montrer que la droite (D)et la courbe (C) se coupent en deux points A et B dont on donnera les coordonnées. b.Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C). 5.Construire la courbe (C) et la droite (D).
Partie C Calculs d’aire
1.SoitHla fonction définie surRpar : ¡ ¢ 2−x H(x)=a x+b x+ce .
Déterminer les réelsa,betctels que la fonctionHsoit une primitive de la fonctionhdéfinie par : ¡ ¢ 2−x h(x)=x+4x+3 e.
2.itée par la courbeDéterminer l’aire, en unités d’aire, de la partie de plan lim (C) et la droite (D). 3.Soitmun réel strictement supérieur à −1. On considère le domaine (Dm) délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d’équations respectives x= −1 etx=m.
a.Calculer l’aire (Am) du domaine (Dm), en unités d’aire. b.Déterminer la limite de (Am) lorsquemtend vers+∞.
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