Baccalauréat S Métropole juin 1999
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures Baccalauréat S Métropole juin 1999 Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) . On prendra 4 cm comme unité sur les deux axes. On considère l'application F du plan dans lui-même qui, à tout point m d'affixe z associe le point M d'affixe 1 2 z2? z. L'objet de cet exercice est de tracer la courbe (?) décrite par M lorsque m décrit le cercle (C ) de centre O et de rayon 1. Soit t un réel de [- π ; π] et m le point de (C ) d'affixe z = eit . 1. Montrer que l'image M de m par F est le point de coordonnées : ? ? ? ? ? x(t) = 1 2 cos2t ?cos t y(t) = 1 2 sin2t ? sin t , t ? [? π ; π]. Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe (?). 2. Comparer x(?t) et x(t) d'une part, y(?t) et y(t) d'autre part. En déduire que (?) admet un axe de symétrie que l'on précisera.
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Durée : 4 heures Baccalauréat S Métropole juin 1999 Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) . On prendra 4 cm comme unité sur les deux axes. On considère l'application F du plan dans lui-même qui, à tout point m d'affixe z associe le point M d'affixe 1 2 z2? z. L'objet de cet exercice est de tracer la courbe (?) décrite par M lorsque m décrit le cercle (C ) de centre O et de rayon 1. Soit t un réel de [- π ; π] et m le point de (C ) d'affixe z = eit . 1. Montrer que l'image M de m par F est le point de coordonnées : ? ? ? ? ? x(t) = 1 2 cos2t ?cos t y(t) = 1 2 sin2t ? sin t , t ? [? π ; π]. Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe (?). 2. Comparer x(?t) et x(t) d'une part, y(?t) et y(t) d'autre part. En déduire que (?) admet un axe de symétrie que l'on précisera.
- représentation paramétrique de la courbe
- axe des abscisses au milieu de la feuille
- courbe représentative
- axe des abscisses
- axe des ordonnées sur le bord gauche de la feuille millimétrée
Durée : 4 heures
Baccalauréat S Métropole juin 1999
Exercice 15 points Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal directO,u,v. On prendra 4 cm comme unité sur les deux axes. On considère l’applicationFdu plan dans luimême qui, à tout pointmd’affixe 1 2 zassocie le pointMd’affixez−z. 2 L’objet de cet exercice est de tracer la courbe (Γ) décrite parMlorsquemdécrit le cercle (C) de centre O et de rayon 1. it Soittun réel de [π;π] etmle point de (C) d’affixez=e .
1.Montrer que l’imageMdemparFest le point de coordonnées : 1 x(t)=cos 2t−cost 2 ,t∈[−π;π]. 1 y(t)=sin 2t−sint 2 Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe (Γ). 2.Comparerx(−t) etx(t) d’une part,y(−t) ety(t) d’autre part. En déduire que (Γ) admet un axe de symétrie que l’on précisera. ′ 3.Montrer quex(t)=sint(1−2 cost). étudier les variations dexsur [0 ;π]. ′ 4.Montrer quey(t)=(cost−1)(1+2 cost). Étudier les variations deysur [0 ;π]. 5.Dans un même tableau faire figurer les variations dexetysur [0 ;π]. π2π 6.Placer les points de (Γ, et) correspondant aux valeurs 0,πdu paramètre 3 3 tet tracer les tangentes en ces points (on admettra que pourt= 0 la tangente à (Γ) est horizontale). Tracer la partie de (Γ) obtenue lorsquetdécrit [0 ;π] puis tracer (Γ) complètement.
Exercice 25 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Dans cet exercice,nest un entier naturelnon nul. On considère la suite (un) définie par : Z 2 2t+3 t un=e dt. n 0t+2 2t+3 1. a.Soitϕla fonction définie sur [0 ; 2] parϕ(t)=. t+2 Étudier les variations deϕ; 2]. En déduire que, pour tout réelsur [0t dans [0 ; 2], 3 7 6ϕ(t)6. 2 4 b.Montrer que, pour tout réeltdans [0 ; 2], on a 3 7 t tt n nn e6ϕ(t)e6e . 2 4
Baccalauréat S
c.Par intégration en déduire que : ³ ´³ ´ 3 7 2 2 ne−16un6ne−1 . n n 2 4 Ã ! h e−1 d.On rappelle que lim=1. h→0h 7 Montrer que, si (un) possède une limiteℓ, alors 36ℓ6. 2 2t+3 1 2. a.Vérifier que, pour touttdans [0 ; 2], on a :=2−. t+2t+2 Z 2 2t+3 En déduire l’intégrale I =dt. 0t+2 t2 b.Montrer que, pour touttdans [0 ; 2], on a 16e6e . n n 2 En déduire que I6un6e I. n c.Montrer que (un) est convergente et déterminer sa limiteℓ.
Exercice 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Pour tout entier naturelnnon nul, on considère les nombres
n nn an=4×10−1,bn=2×10−1 etcn=2×10+1.
A. P. M. E. P.
5 points
1. a.Calculera1,b1,c1,a2,b2,c2,a3,b3etc3. b.Combien les écritures décimales des nombresanetcnontelles de chiffres ? Montrer queanetcnsont divisibles par 3. c.Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 don née cidessous, queb3est premier. d.Montrer que, pour tout entier naturel non nuln,bn×cn=a2n. En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers dea6. e.Montrer que PGCD (bn,cn) = PGCD (cn, 2). En déduire quebnetcnsont premiers entre eux. 2.On considère l’équation :
(1)b3x+c3y=1 d’inconnues les entiers relatifsxety. a.Justifier le fait que (1) possède au moins une solution. b.Appliquer l’algorithme d’Euclide aux nombresc3etb3; en déduire une solution particulière de (1). c.Résoudre l’équation (1). Liste des nombres premiers inférieurs à100 : 2 ;3 ; 5 ; 7 ; 11 ;13 ;17 ;19 ; 23 ;29 ;31 ;37 ;41 ; 43 ;47 ;53 ;59 ; 61 ;6 7 ;71 ;73 ;79 ; 83 ; 89 ; 97.
Problème 10points Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal O,ı,: on prendra 2 cm comme unité sur les deux axes et on placera l’axe des abscisses au milieu de la feuille et l’axe des ordonnées sur le bord gauche de la feuille millimétrée.
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Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
Partie A ⋆Étude d’une fonctionfet de sa courbe représentativeC On considère la fonctionf, définie sur ]0 ;+∞[ par µ ¶ 1 f(x)=1−(lnx−2) x ³ ´ −→−→ et on désigne parCO,sa courbe représentative relativement au repèreı,. 1.Déterminer les limites defen +∞et 0. ′ 2.Montrer quefest dérivable sur ]0 ;+∞[ et calculerf(x). 3.Soitula fonction définie sur ]0 ;+∞[ paru(x)=lnx+x−3. a.Étudier les variations deu. b.Montrer que l’équationu(x)=0 possède une solution uniqueαdans l’intervalle [2 ; 3]. Montrer que 2,20<α<2,21. c.Étudier le signe deu(x) sur [0 ;+∞[ . 4. a.Étudier les variations def. b.Exprimer lnαcomme polynôme enα. 2 (α−1) Montrer quef(α)= −. α −2 En déduire un encadrement def(α) d’amplitude 2×10 . 5. a.Étudier le signe def(x). b.TracerC.
Partie B ⋆Étude d’une primitive defsur ]0 ;+∞[. SoitFla primitive defsur [0 ;+∞[ qui s’annule pourx=1. ³ ´ −→−→ On appelle (Γ) la courbe représentative deFrelativement au repèreO,ı,. 1. a.Sans calculerF(x), étudier les variations deFsur ]0 ;+∞[. 2 b.Que peuton dire des tangentes à (Γ?) en ses points d’abscisses 1 et e 2.Calcul deF(x). Z x a.xlnétant un réel strictement positif, calculer l’intégraletdt(on pourra 1 faire une intégration par parties). b.Montrer que, pour toutxstrictement positif : lnx2 f(x)=lnx− +−2. x x c.En déduire l’expression deF(x) en fonction dex. 3. a.Montrer que lim(xlnx)=0. En déduire la limite deFen 0. x→0 b.Montrer que, pourxstrictement supérieur à 1, µ ¶ 1 lnx2 3 F(x)=xlnx1++ −− ×3. 2x xlnx En déduire la limite deFen +∞. c.Dresser le tableau de variation deF. d.Tracer (Γ) sur le même graphique que (C). 4.Calcul d’une aire 2 Calculer, en cml’aire du domaine limité par la courbe (C), l’axe des abscisses 2 et les droites d’équationsx=1 etx=e .
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