Baccalauréat S Japon juin
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1996
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Japon juin 1996 \ EXERCICE 1 4 points Dans cet exercice, les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions. On dispose de trois dés à 6 faces, parfaitement équilibrés. Sur le premier, 2 faces sont bleues ; sur le deuxième, 3 faces sont bleues ; sur le troi- sième, 5 faces sont bleues ; les autres faces sont rouges. Partie A Dans un premier temps, on considère le premier dé. On le lance 5 fois de suite, les lancers sont indépendants. 1. Quelle est la probabilité d'obtenir 4 fois une face bleue et une face rouge dans cet ordre ? 2. Quelle est la probabilité d'obtenir 4 fois une face bleue et une face rouge ? 3. Quelle est la probabilité d'avoir au moins une face bleue ? Partie B On considère maintenant les trois dés. 1. On prend au hasard et de façon équiprobable l'un des trois dés et on le lance. Quelle est la probabilité d'obtenir une face bleue ? 2. Quelle est la probabilité d'avoir lancé le troisième dé sachant que l'on a ob- tenu une face bleue ? EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) [unité gra- phique 2 cm]. À tout complexe z, distinct de 4, on associe le nombre : Z = iz?4 z?4 .
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[ Baccalauréat S Japon juin 1996 \ EXERCICE 1 4 points Dans cet exercice, les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions. On dispose de trois dés à 6 faces, parfaitement équilibrés. Sur le premier, 2 faces sont bleues ; sur le deuxième, 3 faces sont bleues ; sur le troi- sième, 5 faces sont bleues ; les autres faces sont rouges. Partie A Dans un premier temps, on considère le premier dé. On le lance 5 fois de suite, les lancers sont indépendants. 1. Quelle est la probabilité d'obtenir 4 fois une face bleue et une face rouge dans cet ordre ? 2. Quelle est la probabilité d'obtenir 4 fois une face bleue et une face rouge ? 3. Quelle est la probabilité d'avoir au moins une face bleue ? Partie B On considère maintenant les trois dés. 1. On prend au hasard et de façon équiprobable l'un des trois dés et on le lance. Quelle est la probabilité d'obtenir une face bleue ? 2. Quelle est la probabilité d'avoir lancé le troisième dé sachant que l'on a ob- tenu une face bleue ? EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) [unité gra- phique 2 cm]. À tout complexe z, distinct de 4, on associe le nombre : Z = iz?4 z?4 .
- transformation particulière du plan
- vecteur directeur des tangentes aux points
- point d'affixe
- points enseignement obligatoire
- plan complexe
[Baccalauréat S Japon juin 1996\
EX E R C IC Epoints1 4 Dans cet exercice, les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions. On dispose de trois dés à 6 faces, parfaitement équilibrés. Sur le premier, 2 faces sont bleues ; sur le deuxième, 3 faces sont bleues ; sur le troi sième, 5 faces sont bleues ; les autres faces sont rouges. Partie A Dans un premier temps, on considère le premier dé. On le lance 5 fois de suite, les lancers sont indépendants. 1.Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois une face bleue et une face rouge dans cet ordre ? 2.Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois une face bleue et une face rouge ? 3.Quelle est la probabilité d’avoir au moins une face bleue ? Partie B On considère maintenant les trois dés. 1.On prend au hasard et de façon équiprobable l’un des trois dés et on le lance. Quelle est la probabilité d’obtenir une face bleue ? 2.Quelle est la probabilité d’avoir lancé le troisième dé sachant que l’on a ob tenu une face bleue ?
EX E R C IC E2 5points Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v[unité gra phique 2 cm]. À tout complexez, distinct de 4, on associe le nombre :
iz−4 Z=. z−4 On note A le point d’affixe 4 et on considère l’ensembleCdes pointsMdu plan, distincts de A, et d’affixeztelle queZsoit un nombre réel. On se propose de déterminer et de construire cet ensembleCpar deux méthodes différentes. 1.Méthode analytique
a.On pose :z=x+iyetZ=X+iYavecx,y,X,Yréels. ExprimerXetY en fonction dexety. b.Écrire une équation cartésienne deC. Reconnaître la nature deCet ca ractériser cet ensemble. ConstruireC.
2.Méthode géométrique On considère le point B d’affixe−4i. iz−4z+4i a.Vérifier queest réel si et seulement si le nombreest imagi z−4z−4 naire pur. On pourra remarquer que :
iz−4=i(z+4i).
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A. P. M. E. P.
−−→−−→ b.Quelles sont les affixes des vecteurs AMet BM? En interprétant géo métriquement la condition cidessus, établir queMappartient àCsi et −−→−−→ seulement si AMet BMsont orthogonaux. En déduire la nature deC, et caractériser cet ensemble.
EX E R C IC E2 5points Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,, unité graphique : 2 cm.
1.Étude d’une courbe paramétréeC On considère la courbeCdéfinie paramétriquement par : t2 ( 2 t x=f(t)= +t 2 2t∈R. t y=g(t)= − +t 2
a.Étudier conjointement les variations surRdes fonctionsfetg. b.Préciser les points deCoù la tangente est parallèle à l’un des axes de coordonnées. c.Préciser les points d’intersection deCavec chacun des axes Oxet Oy. Donner un vecteur directeur des tangentes aux points obtenus. Dessiner C.
2.On se propose de démontrer que la courbeCest une parabole, en étudiant son image par une transformation particulière du plan. a.Le plan est assimilé au plan complexe. On considère l’applicationRqui, (1+i ′ ′ à tout pointMdu plan d’affixez, associe le pointMd’affixez=z. 2 Quelle est la nature deR? Déterminer ses éléments géométriques. ′ b.Calculer en fonction detl’affixe deMlorsqueMest le point d’affixe : ′ f(t)+ig(t). En déduire l’expression en fonction detdes coordonnéesx ′ ′′ etydu pointM. Écrire une équation cartésienne de la courbeCimage ′ parRde la courbeC. ReprésenterCsur la même figure queC. Pourquoi peuton affirmer queCest une parabole ?
PR O B L È M E11 points Le graphique cidessous présente dans un même repère orthonormal le tracé de deux courbes,CfetCg. L’une, la courbeCfest la courbe représentative de la fonctionfdéfinie sur l’inter valle [0 ;+∞[ par :x→−7f(x)=(1−x)x. L’autre, la courbeCg, représente la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : ½ g(x)= −xlnxpourxstrictement positif g(0)=0
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Partie A Le but de cette partie est de déterminer quel est le tracé deCfet quel est celui deCg. Comparaison des deux fonctionsfetg On s’intéresse à la différence :f(x)−g(x) et on se propose d’en étudier le signe. À cet effet, on pose pour tout réelxde l’intervalle [0 ;+∞[ : f(x)−g(x) ϕ(x)= x 1 ′ 1.Vérifier que :ϕ(x)=lnx−x+ p.Calculer la fonction dérivéeϕdeϕet x ¡ p¢2 x−1 ′ vérifier que :ϕ(x)= −. 2x x Que est le sens de variation deϕsur [0 ;+∞[ ?(L’étude des limites deϕaux bornes de son domaine de définition n’est pas demandée). 2.Calculerϕ(1) puis déterminer le signe de la différencef(x)−g(x) sur [0 ;+∞[. 3.En déduire les positions relatives des courbesCfetCg. Identifier sur le gra phique chacune de ces deux courbes.
Partie B Calcul d’intégrales Pour tout réelade l’intervalle ]0 ; 1] on pose : Z Z 1 1 I(a)=f(x) dxetJ(a)=g(x) dx. a a 1.Calculer l’intégraleI(a) en fonction dea. À cet effet, on pourra remarquer que f(x) peut s’écrire :
1 3 2 2 f(x)=x−x.
2.À l’aide d’une intégration par parties, calculerJ(a) en fonction dea.
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3. a.Calculer : ¡ ¢ 2 lim (I(a)−J(a)). [On admettra que limxlnx=0]. a→0x→0 b.Donner une interprétation géométrique de cette limite.
A. P. M. E. P.
+ Partie C On considère l’équation, définie dansRpar :g(x)= −24. Dans cette partie, on se propose de déterminer une valeur approchée de la solution a de cette équation. + 1.Justifier que l’équation proposée a dansRune solutionαet une seule et que : 9<α<11. Vérifier queαest solution de l’équation :
24 x=. lnx 2.Soithla fonction définie sur [9 ; 11] par :
24 h(x)=. lnx a.Démontrer, que pour tout réelx; 11],de l’intervalle [9h(x) appartient aussi à l’intervalle [9 ; 11]. b.Démontrer, pour tout x de l’intervalle [9 ; 11], la double inégalité :
2 ′ ¯ ¯ h(x)6<0, 56. 2 3(ln 3) c.En déduire, pour tout réelxde l’intervalle [9 ; 11], l’inégalité :
|h(x)−h(α)|60, 56|x−α|. 3.On considère la suite (un) définie par récurrence : ½ u0=9 un+1=h(untout entier naturel) pourn. a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,unappartient à l’intervalle [9 ; 11], puis que l’inégalité|un+1−α|60, 56|un−α|est vé rifiée. n b.En déduire, que, pour tout entier naturelnl’inégalité|un−α|62(0, 56) est vérifiée. Démontrer que la suite (un) converge versα. c.Trouver le plus petit entier naturelnpour lequel on a l’inégalité :
Japon
n 2(0, 56)<0, 01.
Soitntermcet entier, que représent 0e pourαle eun0correspondant ? −2 À l’aide de votre calculatrice, donner une approximation décimale à 10 près deun. 0
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