Baccalauréat S Asie juin
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Asie juin 2002 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l'avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores. Pour tout entier naturel n > 1 , on note En l'évènement « Amélie est arrêtée par le ne feu rouge ou orange » et En , l'évènement contraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge. Soit pn la probabilité de En et qn celle de En . La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut 1 8 . On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées : • la probabilité que le (n+1)e feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est rouge ou orange, vaut 1 20 . • la probabilité que le (n+1)e feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est vert, est égale à 9 20 . 1. On s'intéresse, tout d'abord, aux deux premiers feux tricolores. a. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous. . . . vert . . . . . . 9 20 rouge ou orange 1 8 rouge ou orange . . . . . . 1 20 .
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[ Baccalauréat S Asie juin 2002 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l'avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores. Pour tout entier naturel n > 1 , on note En l'évènement « Amélie est arrêtée par le ne feu rouge ou orange » et En , l'évènement contraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge. Soit pn la probabilité de En et qn celle de En . La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut 1 8 . On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées : • la probabilité que le (n+1)e feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est rouge ou orange, vaut 1 20 . • la probabilité que le (n+1)e feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est vert, est égale à 9 20 . 1. On s'intéresse, tout d'abord, aux deux premiers feux tricolores. a. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous. . . . vert . . . . . . 9 20 rouge ou orange 1 8 rouge ou orange . . . . . . 1 20 .
- affixe z
- feu rouge
- nième feu
- encadrement de?par
- point de coordonnées
- position relative des courbes ?
- repère ortho
[Baccalauréat S Asie juin 2002\
EX E R C IC E1 5points Commun à tous les candidats Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l’avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores. Pour tout entier natureln>1 , on note Enl’évènement « Amélie est arrêtée par e lenfeu rouge ou orange » et En, l’évènement contraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge. Soitpnla probabilité de Enetqncelle de En. La probabilité que le premier feu 1 tricolore soit rouge ou orange vaut. 8 On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées : e ième •la probabilité que le (n+tricolore soit rouge ou orange, si le1) feunfeu 1 est rouge ou orange, vaut. 20 e ième •la probabilité que le (n+tricolore soit rouge ou orange, si le1) feunfeu 9 est vert, est égale à. 20 1.On s’intéresse, tout d’abord, aux deux premiers feux tricolores. a.Recopier et compléter l’arbre pondéré cidessous.
. . .
vert
1 8
rouge ou orange
. . . . . . 9 20
rouge ou orange
. . . . . . 1 20 . . .
er e 1 feu2 feu b.On noteXla variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la loi de probabilité deX. c.Calculer l’espérance mathématique deX. 2.On se place maintenant dans le cas général. tionnell a.esDonner les probabilités condipEn(En+1) etp(En+1). En ³ ´ b.En remarquant que En+1=(En+1∩En)∪En+1∩En, montrer que, pour toutn>1, 1 9 pn+1=pn+qn. 20 20
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c.En déduire l’expression depn+1en fonction depn. 3.Soit la suite (un) de nombres réels définie pour tout entier natureln>1 par un=28pn−9. a.Montrer que (un) est une suite géométrique et déterminer sa raisonk. b.Exprimerun, puispnen fonction den. c.Déterminer la limite, si elle existe, depn, quandntend vers+∞. Donner une interprétation de ce résultat.
EX E R C IC Epoints2 5 Enseignement obligatoire ¡ ¢ −→ 1.Dans le plan complexe (P) rapporté au repère orthonormal directO,u, on considère les quatre points A, B, C et D d’affixes respectives 3,4i,−2+3i et 1−i. a.Placer les points A, B, C et D dans le plan. b.Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse. 2.On considère dans l’ensemble des complexes les équations : 2 2 z−(1+3i)z−6+9i=0 (1)etz−(1+3i)z+4+4i=0 (2) a.Montrer que l’équation (1) admet une solution réellez1, et l’équation (2) une solution imaginaire purez2. b.Développer (z−3)(z+2−3i), puis (z−4i)(z−1+i). c.En déduire les solutions de l’équation : ¡ ¢¡ ¢ 2 2 z−(1+3i)z−6+9iz−(1+3i)z+4+4i=0. d.Soitz0la solution dont la partie imaginaire est strictement négative. Don ner la forme trigonométrique dez0. n e.Déterminer les entiers naturelsntels que les pointsMnd’affixeszsoient 0 sur la droite d’équationy=x. ′ 3.On appellefl’application qui au pointM, d’affixez, associe le pointM, d’af ′ fixeztelle que :
′2 z=z−(1+3i)z−6+9i. ′ ′′ ′′ a.On posez=x+iyetz=x+iy. Exprimerxetyen fonction dexety. b.Déterminer une équation de l’ensemble (H) des pointsMpour lesquels f(M) appartient à l’axe des ordonnées.
EX E R C IC Epoints2 5 Enseignement de spécialité On considère les suites (xn) et (yn) définies parx0=1,y0=8 et 7 1 xn+1=xn+yn+1 3 3 ,n∈N 20 8 yn+1=xn+yn+5 3 3 ¡ ¢ 1.Montrer, par récurrence, que les pointsMnde coordonnéesxn,ynsont sur la droite (Δ) dont une équation est 5x−y+3=0. En déduire quexn+1=4xn+2. 2.Montrer, par récurrence, que tous lesxnsont des entiers naturels. En déduire que tous lesynsont aussi des entiers naturels.
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3.Montrer que : a.xnest divisible par 3 si et seulement siynest divisible par 3. b.Sixnetynne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux. 1 n 4. a.Montrer, par récurrence, quexn=(4×5−2) . 3 n b.En déduire que 4×5−2 est un multiple de 3, pour tout entier natureln.
PR O B L È M E10 points Partie 1 ∗ On définit la fonctionusurRpar 3 u(x)=2x−1+2 ln|x|. ∗ 1.Étudier les variations de la fonctionusurR. Préciser la valeur de l’extremum relatif deu. 2.Étudier les limites deuen 0, et en+∞. 3.On considère l’équationu(x)=0. · ¸ 1 a.et en déduire; 1Montrer qu’elle n’admet qu’une seule solution sur 2 ∗ qu’elle est la seule surR; cette solution sera notéeα. n b.Donner un encadrement deαpar deux nombres rationnels de la forme 10 n+1 et ,avecnentier. 10 ∗ 4.En déduire le signe deu(x) surR. Partie 2 ∗ On définit la fonctionfsurRpar ln|x| f(x)=2x−. 2 x On appelleCla courbe représentative defdans le plan muni d’un repère ortho ¡ ¢ −→ normal O,ı. 1.Étudier les limites defen 0, en+∞et−∞. ′ 2.Pour toutxréel, déterminer le nombre dérivéf(x). 3.En utilisant les résultats déjà établis, donner les variations de la fonctionfet le tableau de variations def. 1 4. a.Démontrer quef(α)=3α−. 2 2α b.En utilisant l’encadrement deαtrouvé à lapartie 1 3, prouver que 1, 6<f(α)<2, 1. La construction deCn’est pas demandée. Partie 3 ′ ′′ SoitMle point de coordonnées (x,y) etMle point de coordonnées (x,y) dans ¡ ¢ −→′ le repèreO,ı, oùMest le symétrique deMpar rapport à l’axe des ordonnées. ′ ′ 1.Déterminerxetyen fonction dexety. ′ 2. a.Démontrer qu’une équation de la courbeΓà laquelle appartientMlorsque ln|x| Mdécrit la courbeCest la suivante :y= −2x−. 2 x
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b.Étudier la position relative des courbesΓetC. Partie 4 On considère un réelmsupérieur ou égal à 1. Z m £ ¤ 1.On noteA(m) l’intégrale2x−f(x) dx. CalculerA(m). (On utilisera une 1 intégration par parties.) 2.Déterminer, si elle existe, la limite deA(m) quandmtend vers+∞.
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