Baccalauréat S Amérique du Sud
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Amérique du Sud \ Novembre 2010 Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats On admet que si D et D? sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite ∆ perpendiculaire à D et D?. Si ∆ coupe D en le point I et D? en le point J, la distance IJ est appelée distance de D à D?. L'espace est rapporté au repère orthonormal ( O, ??ı , ??? , ??k ) . On note D la droite des abscisses et D?, la droite de représentation paramé- trique ? ? ? x = ?t y = 3+3t z = 1? t , t ?R. 1. Justifier que les droites D et D? ne sont pas coplanaires. 2. On considère la droite ∆ perpendiculaire commune à D et D?. Prouver qu'il existe deux réels b et c tels que le vecteur ??w = b??? +c??k soit un vec- teur directeur de ∆. 3. a. Vérifier que le plan P d'équation :?3y+z = 0 est un plan contenant la droite D. b. Déterminer les coordonnées du point d'intersection J de la droiteD? et du plan P . c. Justifier que la droite passant par J, de vecteur directeur ??w est sé- cante à D en un point I et qu'elle est la perpendiculaire commune à D et D?.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Amérique du Sud \ Novembre 2010 Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats On admet que si D et D? sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite ∆ perpendiculaire à D et D?. Si ∆ coupe D en le point I et D? en le point J, la distance IJ est appelée distance de D à D?. L'espace est rapporté au repère orthonormal ( O, ??ı , ??? , ??k ) . On note D la droite des abscisses et D?, la droite de représentation paramé- trique ? ? ? x = ?t y = 3+3t z = 1? t , t ?R. 1. Justifier que les droites D et D? ne sont pas coplanaires. 2. On considère la droite ∆ perpendiculaire commune à D et D?. Prouver qu'il existe deux réels b et c tels que le vecteur ??w = b??? +c??k soit un vec- teur directeur de ∆. 3. a. Vérifier que le plan P d'équation :?3y+z = 0 est un plan contenant la droite D. b. Déterminer les coordonnées du point d'intersection J de la droiteD? et du plan P . c. Justifier que la droite passant par J, de vecteur directeur ??w est sé- cante à D en un point I et qu'elle est la perpendiculaire commune à D et D?.
- droite des abscisses
- droite ∆ perpendiculaire
- expérience précédente
- vec- teur directeur de ∆
- commune
- site européen
- unique droite
- points commun
Durée : 4 heures
[Baccalauréat S Amérique du Sud\ Novembre 2010
Exercice 15 points Commun àtous les candidats ′ On admet que siDetDsont deux droites non coplanaires, il existe une unique ′ ′ droiteΔperpendiculaire àDetD. SiΔcoupeDen le point I etDen le point J, ′ la distance IJ est appelée distance deDàD. ³ ´ −→−→−→ L’espace est rapporté au repère orthonormalO,ı,,k. ′ On noteDla droite des abscisses etD, la droite de représentation paramé x= −t triquey=3+3t,t∈R. z=1−t ′ 1.Justifier que les droitesDetDne sont pas coplanaires. ′ 2.On considère la droiteΔperpendiculaire commune àDetD. Prouver −→−→−→ qu’il existe deux réelsbetctels que le vecteurw=b+c ksoit un vec teur directeur deΔ. 3. a.Vérifier que le planPd’équation :−3y+z=0 est un plan contenant la droiteD. ′ b.Déterminer les coordonnées du point d’intersection J de la droiteD et du planP. −→ c.Justifier que la droite passant par J, de vecteur directeurwest sé cante àDen un point I et qu’elle est la perpendiculaire commune à ′ DetD. ′ d.En déduire la distance deDàD.
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P
J
′ D
I Δ
D
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Exercice 25 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormal directO,u,v. Soit A, B et P les points d’affixes respectivesa=5+5i,b=5−5i etp=10. On considère un pointM, distinct de O, d’affixez. On noteUle point d’affixeu, image du pointMpar la rotationRAde centre A π et d’angle de mesure−. 2 On noteTle point d’affixet, image du pointMpar la rotationRBde centre B et π d’angle de mesure. 2 SoitDle symétrique du pointMpar rapport à O. 1.Démontrer que l’affixe du pointUestu=i(10−z) ; exprimer en fonction dezl’affixe du pointTpuis justifier que le quadrilatèreMU DTest un parallélogramme de centre O. 2.Déterminer l’ensembleΓdes pointsMd’affixeztels que :z z−5z−5z=0. Justifier que le quadrilatère OAPB est inscrit dansΓ. 3.On suppose que le pointMest distinct de O, A et P. Les points O,MetU sont donc distincts deux à deux. a.Démontrer que les points O,MetUsont alignés si et seulement si u u =. z z Amérique du Sud2Novembre 2010
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A. P. M. E. P.
b.Démontrer que les points O,MetUsont alignés si et seulement si Mappartient àΓ. 4.Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan tels que OMUsoit un tri angle isocèle en O. Quelle est dans ce cas la nature du quadrilatèreMU DT? u 5.Déterminer l’ensemble des nombres complexeszsoit un imatels que z ginaire pur. En déduire la nature du quadrilatèreMU DTdans le cas où Mest un point de la droite (OP) privée de O et P. Prouver finalement qu’il existe une unique position du pointMtel que MU DTsoit un carré.
Exercice 25 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 4 Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on poseA(n)=n+1. L’objet de l’exercice est l’étude des diviseurs premiers deA(n). 1.Quelques résultats a.Étudier la parité de l’entierA(n). b.Montrer que, quel que soit l’entiern,A(n) n’est pas un multiple de 3. c.Montrer que tout entierddiviseur deA(n) est premier avecn. d.Montrer que, pour tout entierddiviseur deA(n) :
8 n≡1 modd. 2.Recherche de critères Soitdun diviseur deA(n). On notesle plus petit des entiers naturels non k nulsktels quen≡1 modd. a.Soitkun tel entier. En utilisant la division euclidienne dekpars, montrer quesdivisek. b.En déduire quesest un diviseur de 8. c.Montrer que si, de plus,dest premier, alorssest un diviseur ded−1. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat. 3.Recherche des diviseurs premiers deA(n) dans le cas oùnest un entier pair. Soitpun diviseur premier deA(n). En examinant successivement les cas s=1,s=2 puiss=4, conclure quepest congru à 1 modulo 8. 4.Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs premiers deA(12). Indication :la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, .. .
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A. P. M. E. P.
Exercice 35 points Commun à tous les candidats Un internaute souhaite faire un achat par l’intermédiaire d’internet. Quatre sites de vente, un français, un allemand, un canadien et un indien présentent le matériel qu’il souhaite acquérir. L’expérience a montré que la probabilité qu’il utilise chacun de ces sites vérifie les conditions suivantes (les initiales des pays désignent les évènements « l’achat s’effectue dans le pays ») : 1 P(F)=P(A),P(F)=P(C) etP(C)=P(I). 2 1.Calculer les quatre probabilitésP(F),P(A),P(C) etP(I). 2.Sur chacun des quatre sites, l’internaute peut acheter un supplément pour son matériel. Ses expériences précédentes conduisent à formuler ainsi les probabilités conditionnelles de cet évènement, notéS:
PF(S)=;0, 2PA(S)=;0, 5PC(S)=;0, 1PI(S)=0, 4 a.DéterminerP(S∩A). 17 b.Montrer quep(S)=. 60 c.L’internaute a finalement acheté un supplément. Déterminer la pro babilité qu’il l’ait acheté sur le site canadien. 3.000 internautes ayant acheté ce matériel, on a établi la statistiqueSur 1 suivante : Sites Site canadienSite indien européens Effectif 335 310 355 d’acheteurs
a.On note respectivementf1,f2etf3les fréquences associées aux ef fectifs précédents. On pose : µ ¶ k=3 2 X 1 2 22 d=fk−. Calculerd000puis 1d. 3 k=1 b.On simule 3000 fois l’expérience consistant à tirer un nombre au hasard parmi {1 ;2 ;3} avec équiprobabilité. Pour chacune de ces 2 simulations on obtient une valeur de 1 000d. Voici les résultats : Minimu Premier PremierMédiane TroisièmeNeuvièm Maximu décile quartilequartile décile 0,000 50,076 30,211 10,488 450,940 11,510 45,925 6 Au risque 10 %, peuton considérer que le choix d’un site européen, nordaméricain ou asiatique se fait de manière équiprobable ?
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A. P. M. E. P.
Exercice 45 points Commun à tous les candidats Le but de l’exercice est de donner un encadrement du nombreIdéfini par : Z 1 2x xe I=dx. 01+x x e Soitfla fonction définie sur [0 ; 1] parf(x)=. 1+x 1.Étudier les variations defsur [0 ; 1]. µ ¶ n X k 2.On pose, pour tout entier naturelSn=f. 5 k=0 a.Justifier que pour tout entierkcompris entre 0 et 4, on a : µ ¶Z µ¶ k+1 x 1ke 1k+1 5 fÉdxÉf k 5 51+x5 5 5 Interpréter graphiquement à l’aide de rectangles les inégalités pré cédentes. Z 1x 1 e1 b.En déduire que :S4ÉdxÉ(S5−1). 501+x5 −4 c.Donner des valeurs approchées à 10près deS4et deS5respecti vement. Z 1x e En déduire l’encadrement : 1,091ÉdxÉ1, 164. 01+x 2 1x 3. a.Démontrer que pour tout réelxde [0 ; 1], on a :=1−x+. 1+x1+x Z Z 1x1 e x b.Justifier l’égalitédx=(1−x)e dx+I. 01+x0 Z 1 x c.Calculer (1−x)e dx. 0 Z 1 2x xe d.En déduire un encadrement deI=dxd’amplitude stricte 01+x −1 ment inférieure à 10.
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