Baccalauréat Mathématiques Enseignement de spécialité France métropolitaine septembre

BaccalauréatMathématiques-Enseignementdespécialité
Francemétropolitaineseptembre2009
EXERCICE 1 5points
Unemunicipalitédécidederegroupertouslesouvragesdetroispetitesbibliothèquesdequartierenunmêmelieuetde
créerunebibliothèquemunicipale.Onconvientdenoterb ,b etb cestroisbibliothèquesdequartier.1 2 3
Le stock de b constituera ainsi 50% de l’ensemble des ouvrages réunis dans la bibliothèque municipale, celui de b1 2
constituera30%decetensembleetceluideb constituera20%decetensemble.3
Unexamenminutieuxdustockrévèleque:
• 12%desouvragesprovenantdeb sontenmauvaisétat;1
• 10%desouvragesprovenantdeb sontenmauvaisétat;2
• 15%desouvragesprovenantdeb sontenmauvaisétat.3
Onprélèveauhasardunouvragedanslestockdelabibliothèquemunicipaleetonnotesaprovenanceetsonétat.
Onappellelesévénementssuivants:
B l’évènement:«L’ouvrageprélevéprovientdelabibliothèqueb »;1 1
B l’évènement:«L’ouvrageprélevéprovientdelabibliothèqueb »;2 2
B l’évènement:«L’ouvrageprélevéprovientdelabibliothèqueb »;3 3
E l’évènement:«L’ouvrageprélevéestenbonétat»etE soncontraire.
1. Donnerlavaleurde p(B ),probabilitédel’évènementB ,ainsiquecelledeP (E),probabilitédel’évènementE1 1 B1
sachantquel’événementB estréalisé.1
2. Reproduire sur la copie l’arbre de probabilité ci-dessous et le compléter par les sept probabilités manquantes
(aucunejustificationn’estattendue).
E
B1
E
E
B2
0,1
E
E
B3
0,15
E
3. a) Montrerquep(B ∩E)=0,44.Calculerp(B ∩E)etp(B ∩E).1 2 3
b) Endéduirequelaprobabilitéqu’unouvrageprélevéauhasardsoitenbonétatestégaleà0,88.
4. LesévénementsB etE sont-ilsindépendants?1
5. Caractériserparunephrasel’évènementB ∪E puiscalculersaprobabilité.1EXERCICE 2 5points
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]0; 2]par:
f(x)=x+ln(x).
′Onnote f lafonctiondérivéede f sur]0; 2].
x+1
′1. a) Montrerque,pourtoutx de]0; 2], f (x)=
x
b) Justifierquelafonction f estcroissantesurl’intervalle]0; 2].
³ ´→− →−
2. Onnote(Γ)lacourbereprésentativedelafonction f dansunrepèreorthogonal O, ı ,  duplan.
Undessinde(Γ)estdonnéenannexe1.Cedessinestàcompléteretàrendreaveclacopie.
a) Onnote A lepointde(Γ)d’abscisse1.Calculerl’ordonnéedupoint A.
b) Calculerlenombredérivéde f en1.
c) Détermineruneéquationdeladroite(T)tangenteàlacourbe(Γ)en A.Tracerladroite(T).
d) OnnoteB lespointd’intersection,deladroite(T)avecl’axedesabscisses.
PlacerlepointB surlafigureetcalculersescoordonnées.
3. Onadmetquel’équation f(x)=0admetuneuniquesolutionαdansl’intervalle]0; 2].
a) Enutilisantlegraphique,donnerunencadrementdeαd’amplitude0,1.
b) Àl’aided’unecalculatrice,trouverunencadrementdeαd’amplitude0,01.
EXERCICE 3 5points
Dans cet exercice, on appelle DIAGONALE d’un polygone régulier tout segment de droite joignant deux sommets non
consécutifsdupolygone.Ainsi,untriangleéquilatéralnepossèdeaucunediagonaleetuncarréenpossèdedeux.
1. Dansletableaudel’annexe2,quiestàcompléteretàrendreaveclacopie, tracerencouleur toutesdiagonales
despolygonesréguliersà5et6côtés,puisindiquerleurnombredanslalignesuivante.
Danslasuitedel’exercice,onadmetquelenombred dediagonalesd’unpolygonerégulieràn côtés(n étantun
entiernaturelsupérieurouégalà3)estdonnéparlaformule:
n(n−3)
d= .
2
2. Danscettequestion,onchercheàdéterminerdansquelspolygonesrégulierslenombred dediagonalesestun
multipleentierdunombrendecôtés.
a) Exploiter ce qui a été fait dans les questions précédentes pour dire si chacune des propositions suivantes est
VRAIEouFAUSSE.Chaqueréponsedoitêtrejustifiée.
oPropositionn 1:Ilexisteaumoinsunpolygonerégulierpourlequellenombredediagonalesestledoubledu
nombredecôtés.
oPropositionn 2:Quelquesoitunpolygonerégulier,lenombredesdiagonalesdecepolygoneestledoubledu
nombredesescôtés.
oPropositionn 3:Quelquesoitunpolygonerégulier,lenombredesdiagonalesdecepolygoneestunmultiple
entierdunombredesescôtés.
b) Onconsidèrel’algorithmesuivant:
Entrée k estunentiernaturelnonnul.
Initialisation Affecteràn lavaleur3;
Affecteràd lavaleur0.
Traitement Tantqued<k×n :
Affecteràn lavaleurn+1;
n×(n−3)
Calculer etaffecterlavaleurdurésultatàd.
2
Sortie Affichern etd.
Fairefonctionner l’algorithme pour k=3. Interpréterle résultat obtenu en termesde nombres de côtés et de
diagonalesd’unpolygonerégulier.
2c) Démontrerque,pourunentiernaturelnonnulk donné,d=k×n sietseulementsin=2k+3.
d) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera
priseencomptedansl’évaluation.
Déterminerlespolygonesréguliersdanslesquelslenombred dediagonalesestunmultipleentierdunombre
decôtés.
EXERCICE 4 5points
Undamierestcomposéde9casescarréesdemêmedimension.Cescasessontnumérotéesde1à9commel’indiquent
lesdeuxdessinsci-dessous.Leplandudamierestunplanhorizontal.
Onadéposésurlescases1et9decedamierdeuxcubes.Chaquefacedecesdeuxcubesaexactementlamêmedimen-
sionquechaquecasedudamier.
7 8 9
A
7 8 9
4 5 6
4 5 6
1 2 3
1 2 3
B C D E
DamieretcubesB C D E
représentationenperspectiveparallèle
Damieretcubes
Vuededessus
Lespoints A,B,C,D etE sonttelsque:
A,B etC sonttroissommetsducubedéposésurlacase1;
lesegment[BE]estunborddudamier;
C etD sontlespointsdusegment[BE]telsqueBC=CD=DE.
L’objectifestdereprésenterenperspectivecentraleledamieretlesdeuxcubes.Onseplacedanslecasoùlebord[DE]
dudamieretl’arête[AB]ducubesontdansunplanfrontal.
Dansledessindonnéenannexe3onacommencécettereprésentationenperspectivecentrale.
Lespointsa,b,c,d ete représententdanscetteperspectivecentralelespoints A,B,C,D etE.
Onareprésentéentraitgraslebord[be]dudamier,etl’arêteverticale[ab]ducubeposésurlacase1.
Cedessinestàcompléteretàrendreaveclacopie.
Pourtouteslesconstructionsdel’exercice,onlaisseraapparentslestraitsdeconstruction.
1. Terminerlareprésentationenperspectivecentraledudamier.
2. Citerdeuxrèglesdelaperspectiveàpointdefuitequipeuventêtrevérifiéessurlafigure.
3. Représenterdanscetteperspectivecentralelecubedéposésurlacase1.
4. Représenterdanscetteperspectivecentralelecubedéposésurlacase9.
3
bbbbbbbbbANNEXE1(àcompléteretàrendreaveclacopie)
Exercice2
y
3
(Γ)
2
A
+1
~
+
O x1 2~ı
−1
−2
−3
ANNEXE2(àcompléteretàrendreaveclacopie)
Exercice3
Nombren
3 4 5 6 7 8
decôtés
Tracédes
diagonales
du
Triangle Pentagone Hexagone Heptagone Octogonepolygone Carré
équilatéral régulier régulier régulier régulier
Nombred
de 0 2 ??? ??? 14 20
diagonales
45
ANNEXE2(àcompléteretàrendreaveclacopie)
Exercice4
Pointdefuite
Ligned’horizon principal
a
1 2
c e
b d