Baccalauréat Mathématiques Enseignement de spécialité Antilles Guyane juin

BaccalauréatMathématiques-Enseignementdespécialité
Antilles-Guyanejuin2007
EXERCICE 1 6points
PartieA.
f lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;10]par:
0,5xf(x)=55e .
1. Donnerlesvaleursapprochéesarrondiesàl’unitédesnombres f(1), f(2), f(3)et f(4).
2. (a) Déterminerlafonctiondérivéedelafonction f.
(b) Endéduireletableaudevariationdelafonction f surl’intervalle[0;10].
3. Résoudredansl’intervalle[0;10],l’équation f (x)=3000.Ondonneralesarrondisàl’unité
dessolutionséventuelles.
PartieB.
Uneétudestatistiquepermetdeconsidérerlafonction f delapartieAcommeunmodèlesatis-
faisantpourdécrirel’évolution, de2000 à2010, delapuissance totaledeséoliennesinstallées
enFrance.
Plus précisément, on suppose que pour l’année (2000+x) où x est un entier naturel, la puis-
sancedeséoliennesinstalléesenFrance,expriméeenmégawatts,estdonnéepar f(x).
En utilisantce modèle et en exploitant les résultatsde la partie A, répondre aux questionssui-
vantesendonnantlesjustificationsnécessaires.
1. Quelleétaitlapuissancetotaledeséoliennesen2001?
2. Enquelleannéelapuissancetotaledeséoliennesdevrait-elledépasser3000mégawatts?
3. Pourra-t-onatteindreunepuissancetotalede10000mégawattsen2010?
0,5n4. Pourtoutentiernatureln,onpose:u =55e .n
0,5(a) Démontrerquelasuite(u )estunesuitegéométriquederaisone .n
(b) Dans le modèle étudié la puissance totale des éoliennes augmente donc chaque
annéed’unmêmepourcentage.Donnercepourcentageenarrondissantletauxau
dixième.
EXERCICE 2 8points
Cetexerciceestcomposédedeuxpartiesindépendantes.
PartieA.
Surchacunedesfacesd’uncube ABCDEFGH,figureunmotifcarréforméparlesmilieuxdes
côtésdesfaces.Ondonneen annexela représentationen perspective centrale ducube ABCDEFGH,dont la
face ABFE estsituéedansunplanfrontal.Lecarréinscritdanslaface ABFE yestreprésenté.
Lesimagesdespoints A,B,C ...sontnotésenlettresminisculesa,b,c...
Ladroite(p)estlaligned’horizon.
Lesconstructionsdemandéesserontréaliséessurlafeuilleannexe1,àrendreaveclacopie.
Onlaisseraapparentslestraitsdeconstructionutiles.
1. (a) Construirelepointdefuiteprincipalr.
(b) Construirelesdeuxpointsdedistancessett.
2. (a) Construirel’imageidumilieu I dusegment[CG].
(b) Construirel’imagejdumilieu J dusegment[BC].
(c) Proposerunevérificationdelaconstructiondupointj.
(d) Terminerledessindescarrésfigurantsurlesdeuxfacesapparentesducube.
PartieB.
Dansunjeudesociété,onutiliseundéquiestunsolideobtenuensectionnantuncube,àpar-
tirduschémadelapartieA.
Cedépossèdesixfacescarrées,numérotéesde1à6,ethuitfacestriangulaires,numérotéesde
1à8.
Le premier joueur lance le dé et il ne peut entamer la partie que si le dé tombe sur une face
portantlenuméro6.
4
Onconsidère quelorsqu’on lancecedé,laprobabilitéqu’il tombesurunefacecarréeest et
5
1
laprobabilitéqu’iltombesurunefacetriangulaireest .
5
Deplus,onsupposequetouslesnumérosdesfacescarréesontlamêmeprobabilitéd’appari-
tionetquetouslesnumérosdesfacestriangulairesontlamêmeprobabilitéd’apparition.
Onnote C l’événement «le dé tombe sur uneface carrée» et T l’événement «le dé tombe sur
4 1
unefacetriangulaire».Onadonclesprobabilitéssuivantes:p(C)= etp(T)= .
5 5
Antilles-Guyane 2 juin2007On note S l’évènement «le dé tombe sur une face portant le numéro 6» et S l’évènement
contrairedeS.
Touslesrésultatsdemandésdanscettepartieserontdonnéssousformedefractionirréductible
1. Compléterl’arbrepondéréfigurantsurlafeuilleannexe2,àrendreaveclacopie.
2. (a) Déterminerlaprobabilitép(S∩C)del’événementS∩C.
(b) Déterminerlaprobabilitép(S)del’évènementS.
3. Sachantquelepremierjoueuraobtenuun6,quelleestlaprobabilitéqueledésoittombé
surunefacecarrée?
4. SoitHl’événement«ledétombesurunefaceportantlenuméro8»,calculerlaprobabi-
litédeH.
EXERCICE 3 6points
2Pourtoutentiernatureln,onpose: A(n)=n −n+2007.
Lebutdel’exerciceestd’étudierladivisibilitédesentiers A(n)par2etpar3.
Cetexerciceestcomposédedeuxquestionsindépendantes.
1. (a) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre A(1) égal à
2007.
(b) Soit n un entier naturel. Démontrer que : «Si n est divisible par 3, alors A(n) est
divisiblepar3».
(c) Laréciproquedecettedernièreaffirmationest-ellevraie?Justifier.
2. (a) Vérifierque,quelquesoitl’entiernatureln,ona:
2 2(n+1) −(n+1)+2007=(n −n+2007)+2n.
(b) Onconsidèreunentiernatureln quelconque.Démontrerque:«Si A(n)estimpair,
alors A(n+1)estimpair».
(c) L’affirmationsuivanteest-ellevraieoufausse?Justifier.
«Ilexisteaumoinsunentiernatureln telque A(n)soitdivisiblepar2».
Antilles-Guyane 3 juin2007[p]
h
g
e
f
d
c
a
b
ANNEXE1àrendreaveclacopie
Antilles-Guyane 4 juin2007
bbbbbbbbANNEXE2àrendreaveclacopie
S
C
S
S
T
S
Antilles-Guyane 5 juin2007