Baccalauréat L spécialité France septembre
3
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Français
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2006
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Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat L spécialité France septembre 2006 L'usage d'une calculatrice est autorisé 3 heures Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré EXERCICE 1 6 points On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; 3] par f (x)= 2lnx? x2+2, où ln désigne la fonction logarithme népérien. 1. Déterminer lim x?0 f (x). 2. Montrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; 3] f ?(x)= 2(1? x)(1+ x) x . Dresser le tableau de variations de f . 3. On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 5 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées). a. Préciser le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 2. b. Tracer la courbeC et la droite T sur leuille de papier millimétré. c. À l'aide du graphique, déterminer le nombre de solutions de l'équation f (x)= 0 dans l'intervalle ]0 ; 3]. d. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au dixième de cha- cune de ces solutions. EXERCICE 2 5 points Dans une population, 80 % des individus ont été vaccinés pour résister à un virus.
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Baccalauréat L spécialité France septembre 2006 L'usage d'une calculatrice est autorisé 3 heures Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré EXERCICE 1 6 points On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; 3] par f (x)= 2lnx? x2+2, où ln désigne la fonction logarithme népérien. 1. Déterminer lim x?0 f (x). 2. Montrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; 3] f ?(x)= 2(1? x)(1+ x) x . Dresser le tableau de variations de f . 3. On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 5 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées). a. Préciser le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 2. b. Tracer la courbeC et la droite T sur leuille de papier millimétré. c. À l'aide du graphique, déterminer le nombre de solutions de l'équation f (x)= 0 dans l'intervalle ]0 ; 3]. d. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au dixième de cha- cune de ces solutions. EXERCICE 2 5 points Dans une population, 80 % des individus ont été vaccinés pour résister à un virus.
- aires respectives du triangle oab, du triangle oa?b?, de l'hexagone abcdef et de l'hexagone a?b?c?d?e?f?
- hexagone régulier
- figure de l'annexe
- milieux des côtés
Baccalauréat L spécialité France septembre 2006
L’usage d’une calculatrice est autorisé Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré
EXERCICE1
3 heures
6 points
On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ]0 ; 3] par 2 f(x)=2 lnx−x+2, où ln désigne la fonction logarithme népérien. 1.Déterminer limf(x). x→0 2.Montrer que pour tout nombre réelxde l’intervalle ]0 ; 3] 2(1−x)(1+x) f(x)=. x Dresser le tableau de variations def. 3.On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 5 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées). a.Préciser le coefficient directeur de la tangente T à la courbeCau point d’abscisse 2. b.Tracer la courbeCet la droite T sur leuille de papier millimétré. c.À l’aide du graphique, déterminer le nombre de solutions de l’équation f(x)=0 dans l’intervalle ]0 ; 3]. d.À l’aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au dixième de cha cune de ces solutions.
EXERCICE2 5points Dans une population, 80 % des individus ont été vaccinés pour résister à un virus. Pour les individus vaccinés, la probabilité d’être atteint par la maladie transmise par ce virus est de 0,02 tandis que pour les autres, cette probabilité est de 0,35. On choisit au hasard un individu dans cette population. 1.Représenter cette situation aléatoire par un arbre de probabilité. 2.Montrer que la probabilité que l’individu choisi soit atteint par la maladie est égale à 0,086. 3.L’individu choisi est atteint par la maladie : quelle est la probabilité qu’il ait été vacciné ?
EXERCICE3 B A.Sur la figure cicontre, ABCDEF est un hexagone régulier de centre O et A , B , C , D , E , Fsont les milieux des côtés de cetA hexagone. On admet queA B C D E Fest également un hexagone de centreO. A D’autre part, on rappelle que tout triangle formé par le centre et deux sommets consé cutifs d’un hexagone régulier est un tri F angle équilatéral. F
B
O
E
9 points C
E
C
D
D
Baccalauréat L spécialité
3 1.On admet que OA=OA. 2 A B3 Montrer que=. AB 2 2.On notes,s,aetales aires respectives du triangle OAB, du triangle OA B , de l’hexagone ABCDEF et de l’hexagone A B C D E F . s3 a.Prouver que=. s4 b.Exprimeraen fonction dea.
B.Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats de la partieAmême s’ils n’ont pas été démontrés. Sur la figure de l’annexe, A0B0C0D0E0F0est un hexagone régulier dont le côté A0B0 mesure 8 cm et A1, B1, C1, D1, E1, F1sont les milieux des côtés de cet hexagone. Plus généralement, pour tout entier natureln, on note An+1, Bn+1,Cn+1, Dn+1, En+1, Fn+1les milieux des côtés [AnBn] , [BnCn] , . . . , [FnAn] de l’hexagone AnBnCnDnEnFn. 1. Surla figure de la feuille annexe à rendre avec la copie, tracer les hexagones A3B3C3D3E3F3et A4B4C4D4E4F4. 2.On notecnle côté en centimètres de l’hexagone AnBnCnDnEnFn. 3 a.Prouver que (cn.) est une suite géométrique de raison 2 b.En déduire l’expression decnen fonction den. c.Déterminer la valeur exacte de la longueur A4B4. 2 3.On noteande l’hexagone Al’aire en cmnBnCnDnEnFn. a.Quelle la nature de la suite (an) ? Montrer que pour tout entier natureln on a : n 3 an=a0. 4 b.Vérifier que l’aire de A4B4C4D4E4F4est inférieure au tiers de celle de A0B0C0D0E0F0.
France
2
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Baccalauréat L spécialité
A1
A0F2
France
F1
FEUILLE ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE
B0
F0
A2
E2
B1
O
E1
3
B2
D2
C0
E0
C1
C2D0
D1
septembre 2006
