BACCALAUREAT GENERAL Session de mars 2011 MATHEMATIQUES - Série S - Enseignement Obligatoire Nouvelle Calédonie
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Niveau: Secondaire, Lycée
BACCALAUREAT GENERAL Session de mars 2011 MATHEMATIQUES - Série S - Enseignement Obligatoire Nouvelle Calédonie EXERCICE 1 Partie A : restitution organisée de connaissances 1) La fonction u est dérivable sur R et pour tout réel x au(x) + b = a? ( ?ba ) + b = ?b + b = 0 = u ?(x). Donc la fonction u est une solution de (E) sur R. 2) Puisque f et u sont dérivables sur R, f ? u est dérivable sur R et de plus f est solution de (E) sur R ? f ? = af + b ? f ? = af + (u ? ? au) (car u est solution de (E) sur R) ? f ? ? u ? = af ? au? (f ? u) ? = a(f ? u) ? f ? u est solution de l'équation différentielle y ? = ay sur R. 3) D'après les questions 1) et 2) et le rappel de l'énoncé, f est solution de (E) sur R ? il existe un réel K tel que pour tout réel x, (f ? u)(x) = Keax ? il existe un réel K tel que pour tout réel x, f(x) = u(x) + Keax ? il existe un réel K tel que pour tout réel x, f(x) = ?ba + Ke ax.
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BACCALAUREAT GENERAL Session de mars 2011 MATHEMATIQUES - Série S - Enseignement Obligatoire Nouvelle Calédonie EXERCICE 1 Partie A : restitution organisée de connaissances 1) La fonction u est dérivable sur R et pour tout réel x au(x) + b = a? ( ?ba ) + b = ?b + b = 0 = u ?(x). Donc la fonction u est une solution de (E) sur R. 2) Puisque f et u sont dérivables sur R, f ? u est dérivable sur R et de plus f est solution de (E) sur R ? f ? = af + b ? f ? = af + (u ? ? au) (car u est solution de (E) sur R) ? f ? ? u ? = af ? au? (f ? u) ? = a(f ? u) ? f ? u est solution de l'équation différentielle y ? = ay sur R. 3) D'après les questions 1) et 2) et le rappel de l'énoncé, f est solution de (E) sur R ? il existe un réel K tel que pour tout réel x, (f ? u)(x) = Keax ? il existe un réel K tel que pour tout réel x, f(x) = u(x) + Keax ? il existe un réel K tel que pour tout réel x, f(x) = ?ba + Ke ax.
- point dans l'espace
- jl ?
- equation cartésienne
- unique plan
- xb ?
- coordonnées du vecteur ??ac
- ??ab ?
- plan d'équation
- degré après degré
EXERCICE 1
BACCALAUREAT GENERAL Session de mars 2011 MATHEMATIQUES Série S Enseignement Obligatoire Nouvelle Calédonie
Partie A : restitution organisée de connaissances 1)La fonctionuest dérivable surRet pour tout réelx b ′ au(x) +b=a×− +b= −b+b=0=u(x). a Donc la fonctionuest une solution de(E)surR. 2)Puisquefetusont dérivables surR,f−uest dérivable surRet de plus
′ fest solution de(E)surR⇔f=af+b ′ ′ ⇔f=af+ (u−au) (caruest solution de(E)surR) ′ ′′ ⇔f−u=af−au⇔(f−u) =a(f−u) ′ ⇔f−uest solution de l’équation différentielley=aysurR. 3)D’après les questions 1) et 2) et le rappel de l’énoncé,
ax fest solution de(E)surR⇔il existe un réelKtel que pour tout réelx,(f−u)(x) =Ke ax ⇔il existe un réelKtel que pour tout réelx, f(x) =u(x) +Ke b ax ⇔il existe un réelKtel que pour tout réelx, f(x+) = −Ke . a b ax Les solutions surRde l’équation différentielle(E)sont les fonctions de la formex7→− +Ke,K∈R. a
Partie B ′ 1)La fonctionvest dérivable sur[0,+∞[et solution sur[0,+∞[de l’équation différentielle10y+y=30ou encore 1 ′ y= −y+3. D’après la partie A, il existe un réelKtel que pour tout réel positift, 10 3 1 1 −t−t v(t+) = −Ke=30+Ke. 10 10 −1/10 De plus, 0 v(0) =0⇔30+Ke=0⇔K= −30. 1 1 −t−t Donc, pour tout réel positift,v(t) =30−30e=30 1−e. 10 10 1 −t Pour tout réelt>0,v(t) =30 1−e. 10
2) a)La fonctionvest dérivable sur[0,+∞[et pour tout réel positift, 11 1 ′−t−t v(t) =30− −e=3e. 10 10 10 ′ Pour tout réel positift, on av(t)> 0et donc la fonctionvest strictement croissante sur[0,+∞[. 1
