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[ BaccalauréatESNouvelle-Calédonie
décembre2001\
EXERCICE1 4points
Communàtouslescandidats
Letableauci-dessousdonneladépensedeconsommationfinaledesménagesfran-
çaisenbiensd’équipementpourlesannées1993à1998.
Année 1993 1994 1995 1996 1997 1998
Rangdel’annéex 1 2 3 4 5 6i
Dépense y enmilliardsdefrancs 34,6 35,8 18,8 40,5 41,5 46,1i
(SourceINSEE,ComptesNationaux)
Ledétaildescalculsstatistiques,àeffectueràlamachine,n’estpasdemandé.
¡ ¢
1. a. ReprésenterdansunrepèreorthogonallenuagedepointsM x ; y eni i i
prenantcommeunitésgraphiques:2cmpour1rangenabscisseset1cm
pour1milliarddefrancsenordonnées,enfaisantdébuterlagraduation
à30surl’axedesordonnées.
b. Calculer lescoordonnéesdupointmoyenGdunuageetplacercepoint
surlegraphique.
Onveutréaliserunajustement affinedecenuagedepointsafind’obte-
niruneprévisionpourl’année1999deladépensedesménagesfrançais
enbiensd’équipement.
2. Dans cette question on utilise la méthode d’ajustement dite de la droite de
Mayer.
a. On désigne par G le point moyen des trois premiers points (M , M et1 1 2
M )dunuageetparG lepointmoyendestroisdernierspoints(M ,M3 2 4 5
etM )dunuage.6
Calculer les coordonnées de G et G puis placer ces deux points sur le1 2
graphique.
b. Démontrerquel’équationréduitedeladroite(G G )esty=2,1x+32,2.1 2
Tracer(G G )surlegraphique.1 2
c. Calculerlaprévisionpourl’année1999deladépensedesménagesfran-
çaisenbiensd’équipementobtenueenutilisantladroite(G G ).1 2
3. Danscettequestion,onutiliselaméthodedesmoindrescarrés.
a. SoitDladroited’ajustement parlaméthodedesmoindrescarrés;ellea
pouréquationréduitey=2,18x+b.
Justifierqueb=31,92enutilisantlepointmoyenG.
TracerDsurlegraphique.
b. Calculerlaprévisionpourl’année1999deladépensedesménagesfran-
çaisenbiensd’équipementobtenueenutilisantladroiteD.
4. Le montant réel de la dépense pour l’année 1999 a été de 48,8 milliards de
francs.
Commenter, auvudecettedonnée,lesprévisions obtenuesparlesdeuxmé-
thodesd’ajustementenvisagéesprécédemment.
EXERCICE2 6points
EnseignementobligatoireBaccalauréatESdécembre2001 A.P.M.E.P.
Uneentreprisefabriqueunarticlequidoitrépondreàdesnormesprécises.Onconsi-
dère que 8% des articles produits ne sont pas conformes aux normes. Un test de
contrôle en fin de fabrication est censé repérer les articles non conformes. Cepen-
dantletestcomporteunecertainemarged’erreur;uneétudeaétablique
•5%desarticlesconformesauxnormessontrefusésparletest;
•10%desarticlesnonconformesauxnormessontacceptésparletest.
Onconsidèreunarticleprisauhasardaumomentdepasserletest.Onnote:
Cl’évènement «l’articleestconformeauxnormes»;
Tl’évènement «l’articleestacceptéparletest».
CetTdésignentlesévènementscontrairesrespectifsdeCetT.
La probabilité d’un évènement E est notée p(E);la probabilité conditionnelle de E
sachantqueFestréaliséestnotéep (E).F
³ ´
1. a. Déduire des données les probabilités p(C), p C , p (T), p (T), p (T)C CC
etp (C)(onpourrafaireunarbre).
C
³ ´
b. Calculerp(T∩C)etp T∩C .Endéduirequep(T)=0,882.
c. Quelleestlaprobabilitéquelecontrôledonneunrésultaterroné?
2. Lecoûtdefabricationd’unarticleest80F.
Toutarticlerefuséparletestestdétruit.
Chaque article accepté par le test est mis sur le marché et vendu 120 F mais
lorsqu’un tel article n’est pas conforme aux normes, l’entreprise doit rem-
bourser 140 F au client (prix d’achat plus 20 F de frais de port) et l’article li-
tigieuxestdétruit.
SoitX lenombreindiquantlebénéficeoulapertecorrespondantàunarticle
choisiauhasard.L’ensembledesvaleursdeXest:{+40,−80,−100}.
a. Exprimerlesévènements (X=40), (X=80)et(X=−100)enutilisantC,
C,TetT.
b. Donnerlaloideprobabilitéassociéeàcestroisvaleurs.
c. Calculer l’espérance de cette loi. Quelle interprétation peut-on en don-
ner?
EXERCICE2 6points
Enseignementdespécialité
Dans un certain milieu professionnel M, toute personne est tenue de posséder un
agendaetdelerenouvelerchaqueannée.Onsupposeraqu’aucunepersonnen’achète
plusd’unagenda.
Deux fournisseurs, désignés respectivement par a etb, se partagent le marché des
agendasdanslemilieuM(donctoutindividufaisantpartiedeMsefournitsoitau-
prèsdea,soitauprèsdeb).
Onchercheàprévoirlespartsdemarchéfuturesdeaetbenfaisantl’hypothèseque
d’uneannéesurl’autre:
•76%desclientsdea restentfidèlesàa;
•64%desclientsdeb restentfidèlesàb.
Pour l’année 2000, 40% des individus faisant partie de M ont choisi a et les autres
ontchoisib.
OnconsidèreunepersonnepriseauhasarddansM.
Onnote,pourtoutentiernatureln :
A l’évènement «l’année2000+n,lapersonnechoisita».n
B l’évènement «l’année2000+n,lapersonnechoisitb».n
1. a. Déduiredesdonnéeslesprobabilitésp(A ), P (A )etP (A ).0 A n+1 B n+1n n
b. Démontrerlarelationp(A )=0,76×p(A )+0,36×p(B ).n+1 n n
Nouvelle-Calédonie 2 décembre2001BaccalauréatESdécembre2001 A.P.M.E.P.
c. Onpose,pourtoutentiernatureln, p =p(A ).Justifierlarelationp =n n n+1
0,4p +0,36.n
2. Onpose,pourtoutentiernatureln, u =0,6−p .n n
a. Démontrerquelasuite(u )estunesuitegéométriquederaison0,4;pré-n
cisersonpremiertermeu .0
b. Exprimeru puisp enfonctionden.n n
c. Calculerlalimitedep lorsquen tendvers+∞.n
3. Exprimésenpourcentages,lesnombresp(A )etp(B )constituent lesprévi-n n
sions,pourunefutureannée2000+n,despartsdemarchérespectivesdeaet
b.
Quelle évolution peut-on prévoir à long terme pour les parts de marché res-
pectivesdea etb silecomportementdelaclientèlerestetoujourslemême?
PROBLÈME 10points
Surlegraphiqueci-dessouslacourbeC représenteunefonction f définiesurR.
2
2
1
1 P
T
M1
Q3e0
-2 -1 O 0 1 1 2−2 −1 1 23
1. Expressiondelafonction
mxLafonctionf estdéfiniesurRparf(x)=xe +p,metpétantdeuxconstantes.
µ ¶
1 1
a. En utilisant les points P(1; 1) et M ; de la courbeC, démontrer
3 3e½
m+p = 0
quem etp vérifient: .
m+3p = −3
3(x−1)
2b. Endéduireque f(x)=xe .
2. Tableaudevariationsde f
a. Calculerlalimitede fen+∞.Onadmetque lim f(x)=0.
x→−∞
b. Vérifierque
µ ¶
3 3′ (x−1)
2f (x)= x+1 e .
2
′c. Étudierlesignede f (x)surRetdresserletableaudevariationsde f.
3. PointdeC oùlatangenteestparallèleàladroite(OP)
Nouvelle-Calédonie 3 décembre2001BaccalauréatESdécembre2001 A.P.M.E.P.
′a. Onadmetque f eststrictementcroissantesurl’intervalle[0;1].
′ ′Calculer f (0)et f (1).
′Démontrer que, dans l’intervalle [0; 1], l’équation f (x)=1 a une solu-
tionuniquet.
−2Donnerunencadrementdet d’amplitude10 .
b. Justifierquet estl’abscissedupointTdelacourbeC,situéentreOetP
oùlatangenteestparallèleàladroite(OP).
4. Airedudomainesituéentrelacourbeetlesegment[OP]
On noteA la mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaine délimité par la
courbeC,lesegment[OQ]etlesegment[PQ]etS lamesure,enunitésd’aire,
del’airedudomainedélimitéparlacourbeC etlesegment[OP].
1
a. JustifierqueS= −A.
2
b. Déterminerpourquellevaleurduréelk lafonction
3(x−1)2G : x7?→ke .
3(x−1)
2estuneprimitivedelafonctiong :x7?→e .
¡ ¢2 ′c. Vérifierque f(x)= f (x)−g(x) .EndéduireuneprimitiveF de f.
3
³ ´2 3−2d. DémontrerqueA = 1+2e .
9
−2DonneralorslavaleurexactedeS puisunevaleurapprochéedeS à10
près.
Nouvelle-Calédonie 4 décembre2001