Baccalauréat C Toulouse septembre 1983
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Toulouse septembre 1983 \ EXERCICE 1 1. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie dans R par f (x)= xe?x +e. Étudier la fonction f et construire la courbe C représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé. 2. Calculer le nombre réel ∫1 ?1 f (x)dx et donner une interprétation géométrique de ce nombre. 3. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie dans R? par g (x)=?e?x +eln |x|. Étudier la fonction g et construire la courbe C? représentative de g dans un plan rapporté à un repère orthonormé. EXERCICE 2 On considère l'expression f (z)= z3? (1?2i)z2+ (i?1)z?2i?6 où z est un nombre complexe. 1. Montrer que l'équation f (z) = 0 admet une solution imaginaire pure, notée z1. Montrer qu'il existe des nombres complexes a et b, tels que f (z)= (z? z1) ( z2+az+b ) . En déduire les autres solutions z2 et z3 de l'équation f (z)= 0. 2. Déterminer un nombre complexe ?, tel que les trois nombres : z1??, z2?? et z3??, aient même module.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Toulouse septembre 1983 \ EXERCICE 1 1. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie dans R par f (x)= xe?x +e. Étudier la fonction f et construire la courbe C représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé. 2. Calculer le nombre réel ∫1 ?1 f (x)dx et donner une interprétation géométrique de ce nombre. 3. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie dans R? par g (x)=?e?x +eln |x|. Étudier la fonction g et construire la courbe C? représentative de g dans un plan rapporté à un repère orthonormé. EXERCICE 2 On considère l'expression f (z)= z3? (1?2i)z2+ (i?1)z?2i?6 où z est un nombre complexe. 1. Montrer que l'équation f (z) = 0 admet une solution imaginaire pure, notée z1. Montrer qu'il existe des nombres complexes a et b, tels que f (z)= (z? z1) ( z2+az+b ) . En déduire les autres solutions z2 et z3 de l'équation f (z)= 0. 2. Déterminer un nombre complexe ?, tel que les trois nombres : z1??, z2?? et z3??, aient même module.
- c1 aux points d'abscisse respective
- plan vecto- riel
- ?k ??k
- ??k ?
- noyau de ?
- point de coordonnées
- plan rapporté au repère orthonormé
- repère orthonormé
Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Toulouse septembre 1983\
EX E R C IC E1 1.Soitfla fonction numérique de la variable réellexdéfinie dansRpar
−x f(x)=xe+e.
Étudier la fonctionfet construire la courbe C représentative defdans un plan rapporté à un repère orthonormé. Z 1 2.Calculer le nombre réelf(x) dxet donner une interprétation géométrique −1 de ce nombre. ⋆ 3.Soitgla fonction numérique de la variable réellexdéfinie dansRpar
−x g(x)= −e+e ln|x|.
′ Étudier la fonctionget construire la courbe Creprésentative degdans un plan rapporté à un repère orthonormé.
EX E R C IC E2 On considère l’expression
3 2 f(z)=z−(1−2i)z+(i−1)z−2i−6
oùzest un nombre complexe.
1.Montrer que l’équationf(z)=0 admet une solution imaginaire pure, notée z1. Montrer qu’il existe des nombres complexesaetb, tels que ¡ ¢ 2 f(z)=(z−z1)z+a z+b. En déduire les autres solutionsz2etz3de l’équationf(z)=0. 2.Déterminer un nombre complexeω, tel que les trois nombres :z1−ω,z2−ω etz3−ω, aient même module.
PR O B L È M E ³ ´ −→−→ P désigne un plan rapporté au repère orthonorméO,ı,etVest le plan vecto riel associé à P. Partie A On considère les droites vectoriellesΔ1etΔ2engendrées respectivement par −→−→−→−→−→−→ e1=ı+ete2= −ı+. On désigne par E l’ensemble des endomorphismes deVdont la restriction àΔ1est une homothétie vectorielle de rapportk,k6=0.
Terminale C
A. P. M. E. P.
1.Démontrer queϕest un élément de E si, et seulement si, sa matrice, relative ment à 8, est de la forme µ ¶ a k−a 2 , (a,b)∈N b k−b Pour quelles valeurs deaetbl’endomorphismeϕestil bijectif ? Dans toute la suite du problème,ϕdésigne un élément deE. 2.Lorsqueϕn’est pas bijectif, déterminer le noyau deϕ, l’imageϕ(V) deVpar ϕet l’ensemble des vecteurs invariants parϕ. (On appelle noyau deϕl’ensemble des antécédents parϕdu vecteur nul de V). 3.Pour quelles valeurs dea,betk,ϕconservetil le produit scalaire ? −→ 4.On supposek6=1. Montrer que le seul élément de E qui laisse invariante2est l’applicationϕkdont la matrice K dans D est : 1 1 (k+1) (k−1) 2 2 1 1 (k−1) (k+1) 2 2 ³ ´ −→−→ ′ 5.Soit B=e1,e2avec −→−→−→−→−→−→ e1=ı+ete2= −ı+. ′ ′ Vérifier que Best une base deV. Déterminer la matrice Kdeϕkrelativement ′ à B . Déterminer la matrice de
n ϕ=ϕk◦ϕk◦ ∙ ∙ ∙ ◦ϕk k { } néléments ′ dans la base Bpuis dans la base B. Partie B On considère l’application affinefk, de P dont l’endomorphisme associéϕkavec k6=1, a pour matrice relativement à B : 1 1 (k+1) (k−1) 2 2 K= 1 1 (k−1) (k+1) 2 2 et qui laisse invariant le point A(1 ; 1). ¡ ¢ ′ ′′ ′′ 1.SoitM x;yl’image parfkdu pointM(x;y). Exprimerxetyen fonction dexety. 2.Déterminer et construire l’ensemble D des points invariants parfk. 3.Soit H la projection orthogonale sur D d’un pointMde P. −−−→−−→ ′ Démontrer que HM=kHM. Quelle est la nature defk? ¡ ¢ 4.SoitM0x0;y0un point fixe de P. On poseM1=fk(M0) ,M2=fk(M1) , ...,Mn=fk(Mn−1) et on désigne parxiet yles coordonnées du pointM,i∈{0, 1, 2, ...,n},n∈N. i i a.Calculerxnetynen fonction dex0ety0.
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Terminale C
A. P. M. E. P.
¡ ¢ b.Lorsque ueetles suiysont conver |k| <1, démontrer qtes (xn)n∈Nn n∈N gentes. On notea=limxnetb=limyn. x→+∞x→+∞ On appelle L le point de coordonnées (a;b). Démontrer que L est la projection orthogonale deM0sur D.
Partie C · ¸ 5 5 On considère les fonctions numériques de la variable réellexdéfinies dans−; 2 2 par
3 2 2 F1(x)=x+25−4x 5 5 3 2 2 F2(x)=x−25−4x 5 5
1.ÉtudierF1et construire la courbe représentative C1deF1dans le plan P rap ³ ´ −→−→ porté au repère orthonorméO,ı,. 5 5 Préciser les tangentes à C1aux points d’abscisse respective−et 2 2 2.Démontrer que, dans P, la courbe représentative C2est symétrique de C1par rapport à l’origine. Construire C2. 3.On pose C = C1∪C2. Démontrer qu’une équation de C est :
2 2 5x+5y−6x y−20=0.
4.Déterminer une équation def1(C), identifierf1(C). 2 2
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