Baccalauréat C Toulouse septembre
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Français
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1978
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Toulouse septembre 1978 \ EXERCICE 1 4 POINTS Soit f la fonction réelle de variable réelle qui, à x, associe f (x)= ??e?2x ?2e?x ?? 1. Étudier les variations de f . Étudier la continuité et la dérivabilité de f au point x0 =?Log2. Construire la courbe représentative C de f dans un repère orthonormé. 2. ? étant un réel supérieur ou égal à Log 2, calculer l'aire de l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) vérifiant { ?Log2 6 x 6 ? 0 6 y 6 f (x). Soit A (?) cette aire. 3. Déterminer la limite de A (?) quand ? tend vers +∞ ? EXERCICE 2 4 POINTS Une urne contient n+8 boules distinctes de trois couleurs : n boules bleues (n entier > 2) 5 boules rouges 3 boules vertes. 1. On tire deux boules de l'urne sans remise et on se place dans l'hypothèse de l'équiprobabilité. Une règle du jeu a été établie de la façon suivante : – on gagne quand on tire deux boules de la même couleur – on perd quand on tire deux boules de couleurs distinctes. Calculer en fonction de n la probabilité pn de gain puis la probabilité qn de perte. Calculer lim n?+∞ pn .
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[ Baccalauréat C Toulouse septembre 1978 \ EXERCICE 1 4 POINTS Soit f la fonction réelle de variable réelle qui, à x, associe f (x)= ??e?2x ?2e?x ?? 1. Étudier les variations de f . Étudier la continuité et la dérivabilité de f au point x0 =?Log2. Construire la courbe représentative C de f dans un repère orthonormé. 2. ? étant un réel supérieur ou égal à Log 2, calculer l'aire de l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) vérifiant { ?Log2 6 x 6 ? 0 6 y 6 f (x). Soit A (?) cette aire. 3. Déterminer la limite de A (?) quand ? tend vers +∞ ? EXERCICE 2 4 POINTS Une urne contient n+8 boules distinctes de trois couleurs : n boules bleues (n entier > 2) 5 boules rouges 3 boules vertes. 1. On tire deux boules de l'urne sans remise et on se place dans l'hypothèse de l'équiprobabilité. Une règle du jeu a été établie de la façon suivante : – on gagne quand on tire deux boules de la même couleur – on perd quand on tire deux boules de couleurs distinctes. Calculer en fonction de n la probabilité pn de gain puis la probabilité qn de perte. Calculer lim n?+∞ pn .
- application de eb
- probabilité qn de perte
- image par ?a de la droite vectorielle d'équation cartésienne dans la base
- base orthonormée
[Baccalauréat C Toulouse septembre 1978\
EX E R C IC E1 4P O IN TS Soitfla fonction réelle de variable réelle qui, àx, associe −2x−x ¯ ¯ f(x)=e−2e 1.Étudier les variations def. Étudier la continuité et la dérivabilité defau pointx0= −Log 2. Construire la courbe représentativeCdefdans un repère orthonormé. 2.λnsemble desétant un réel supérieur ou égal à Log2, calculer l’aire de l’e pointsMde coordonnées (x;y) vérifiant ½ −Log 26x6λ 06y6f(x). SoitA(λ) cette aire. 3.Déterminer la limite deA(λ) quandλtend vers+∞?
EX E R C IC E2 Une urne contientn+8 boules distinctes de trois couleurs : nboules bleues (nentier>2) 5 boules rouges 3 boules vertes.
4P O IN TS
1.hypothèse deOn tire deux boules de l’urne sans remise et on se place dans l’ l’équiprobabilité. Une règle du jeu a été établie de la façon suivante : – ongagne quand on tire deux boules de la même couleur – onperd quand on tire deux boules de couleurs distinctes. Calculer en fonction denla probabilitépnde gain puis la probabilitéqnde perte. Calculer limpn. Ce résultat étaitil prévisible ? n→+∞ 2.On effectue maintenant une série de dix tirages de deux boules comme au 1. en remettant chaque fois les deux boules tirées dans l’urne. Calculer en fonction denla probabilitépnpour obtenir 9 fois et 9 fois seule ment un tirage de deux boules de la même couleur. Calculer limpn. Ce résultat étaitil prévisible ? n→+∞
PR O B L È M E4P O IN TS On donne : ³ ´ −→−→ Pplan vectoriel euclidien muni d’une base orthonorméeı, ³ ´ −→ D1, droite vectorielle dePde baseı ³ ´ −→ D2, droite vectorielle dePde base Al’ensemble des applications linéaires dePdansPqui laissent tout vecteur de D1invariant et la droite vectorielleD2globalement invariante. Partie A
Le baccalauréat de 1979
A. P. M. E. P.
³ ´ −→−→ 1.Montrer que toute application deAa une matrice dans la baseı,qui peut s’écrire sous la forme : µ ¶ 1 0 avecaparamètre deR−{0}. 0a µ ¶ ³ ´ 1 0−→−→ On noteraϕadans la basel’application linéaire de matriceı,. 0a 2.Donner l’image parϕade la droite vectorielle d’équation cartésienne dans la ³ ´ −→−→ baseı,:
2 αx+βy=0avec (α;β)6=(0 ;0) et(α;β)∈R
En déduire que les seules droites laissées globalement invariantes parϕaavec a6=1 sontD1, etD2.
Partie B
On donne : ³ ´ −→−→ P plan affine euclidien, associé àPO,, muni d’un repère orthonorméı,. Soient les points A (1 ; 0) ; B(−0) ; C (0 ; 1)1 ; SoitBbl’ensemble des applications affines de P dans P qui laissent O et A invariants −−→−→ ′ et qui transforment C en Ctel que OC=bOC’ avecbparamètre fixe deR−{0 ; 1}. 1.Montrer queBbne contient qu’une seule application que l’on noterafbdont ³ ´ −→−→ on donnera l’expression analytique dans le repèreO,ı,. Caractériser cette application pourb=1 ; puis pourb= −1. 2.métant la projection orthogonale d’un pointMquelconque de P sur la droite −→−−−−→− ′ ′ (AB) ;Métant l’image deMparfbcalculerm Men fonction dem M. 3.On désigne par Ebl’image parfbdu cercleΩde centre O de rayon OA. Déterminer Ebpour|b| =1. Déterminer Ebpour|b| 6=1 ; préciser les éléments remarquables. Partie C SoitCl’ensemble des applications affines de P dans P conservant globalement le cercleΩet conservant globalement la droite (AB). 1.Montrer queCest non vide et que toute application deCest bijective. 2.Montrer queCest la réunion de deux ensembles non vides notésCAet CB,CA étant l’ensemble des applications deCpour lesquelles A est invariant et CB l’ensemble des applications deCpour lesquelles A est transformé en B. En déduire que toute application deClaisse O invariant. 3.SoitFune application quelconque deCetuson endomorphisme associé. Montrer queutransforme tout vecteur de norme 1 en un vecteur de norme 1. En déduire queuconserve la norme de tout vecteur deP(c’estàdire ³ ´ −→ −→−→ ∀V∈P,°u V°=°V°). Quelle est la nature deF? 4.En déduire queCne contient que quatre applications que l’on caractérisera, Partie D SoitEbl’ensemble des applications affines de P dans P transformant le cercleΩen Ebet qui laissent la droite (AB) globalement invariante.
Toulouse
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Le baccalauréat de 1979
A. P. M. E. P.
1.Montrer que l’applicationfbdu B est une application deEb. −1 2.Soitϕune application deEb, montrer quef◦ϕest une isométrie ponctuelle b de P. 3.Démontrer queEbne contient que quatre applications affines que l’on déter minera.
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