Baccalauréat C Reims juin 1976
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Reims juin 1976 \ EXERCICE 1 On pose I (a, n)= ∫1 0 xa (1? x)n dx, a ?N?, n ?N? et I (a, 0)= ∫1 0 xa dx. 1. En intégrant par parties, montrer que I (a +1, n)= a +1 n+1 I (a, n+1) 2. Établir que I (a, n)? I (a, n+1)= I (a +1, n). En déduire que I (a, n+1)= n+1 n+a +2 I (a, n) 3. a étant fixé, (a ?N?), calculer I (a, 0) et démontrer par récurrence sur n, pour tout n ?N? I (a, n)= 1.2.3 . . . (n?1) .n(a +1)(a +2).....(a +n+1) EXERCICE 2 En base 9, trouver tous les couples de chiffres (x ; y) pour lesquels le nombre 7x6y4 est divisible par 7 et par 8. (On pourra utiliser le système décimal comme intermédiaire). PROBLÈME Soit P un plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) .
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Reims juin 1976 \ EXERCICE 1 On pose I (a, n)= ∫1 0 xa (1? x)n dx, a ?N?, n ?N? et I (a, 0)= ∫1 0 xa dx. 1. En intégrant par parties, montrer que I (a +1, n)= a +1 n+1 I (a, n+1) 2. Établir que I (a, n)? I (a, n+1)= I (a +1, n). En déduire que I (a, n+1)= n+1 n+a +2 I (a, n) 3. a étant fixé, (a ?N?), calculer I (a, 0) et démontrer par récurrence sur n, pour tout n ?N? I (a, n)= 1.2.3 . . . (n?1) .n(a +1)(a +2).....(a +n+1) EXERCICE 2 En base 9, trouver tous les couples de chiffres (x ; y) pour lesquels le nombre 7x6y4 est divisible par 7 et par 8. (On pourra utiliser le système décimal comme intermédiaire). PROBLÈME Soit P un plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) .
- droite ∆2
- ??? ?m
- système décimal
- restriction de s2 ?s1
- affixe de?
- f1 ?
- xa
- relation dans z
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01 juin 1976
EX E R C IC E1 On pose
Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Reims juin 1976\
Z 1 a n⋆ ⋆ I(a,n)=x(1−x) dx,a∈N,n∈N 0 Z 1 a etI(a, 0)=xdx. 0
1.En intégrant par parties, montrer que
a+1 I(a+1,n)=I(a,n+1) n+1 2.Établir queI(a,n)−I(a,n+1)=I(a+1,n). En déduire que
n+1 I(a,n+1)=I(a,n) n+a+2 ⋆ 3.aétant fixé, (a∈N), calculerI(adémontrer par récurrence sur, 0) etn, pour ⋆ toutn∈N
1 . 2 . 3. . .(n−1) .n I(a,n)= (a+1)(a+2).....(a+n+1)
EX E R C IC E2 En base 9, trouver tous les couples de chiffres (x;y) pour lesquels le nombre 7x6y4 est divisible par 7 et par 8. (On pourra utiliser le système décimal comme intermédiaire).
PR O B L È M E ³ ´ −→−→ Soit P un plan affine euclidien muni d’un repère orthonorméO,u,v.
Partie A On donne un pointΩde P et un nombre réelkstrictement positif. Soitfl’applica tion de P−{Ω} dans P−{Ω} définie par : −−→k−−→ m→−7M=f(mque) telΩM= ∙Ωm. 2 −−→ °Ωm° −−→k 1.Établir que°ΩM°=et quefest une application involutive de P−{Ω} −−→ °Ωm° dans P−{Ω}. 2. a.Quelle est l’image parfdu cercleΓde centreΩet de rayonk? b.Quel est l’ensemble des points invariants parf?festelle une applica tion affine ?
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
3.P est considéré comme plan complexe. Tout pointm(x;y) de P a pour affixe z=x+iy; on noteαl’affixe deΩetZl’affixe deM, image demparf. k Etablir la relation (1)Z=α+. z−α z−αdésigne le conjugué dez−α) Partie B k ′ On appellefl’application associée à la relationZ−1=etf1celle associée à z−1 bb la relationZ−1−b=oùbetbsont deux nombres complexes conjugués z−1−b (b6=0). 1. a.Sur quel ensembleE1la composée ¡ ¢ ′ ′ ϕ1=f◦f1◦f estelle définie ? ′ b.Établir la relation entre les affixes demet de son image parf1◦f, en déduire que la relation entre les affixes demet de son imageM1parϕ1 est
b+b+k b (2)Z1= −z. b b sinθ 2 2.On pose désormaisk=sinθetb=(−sinθ+i cosθ). 2 a.En utilisant la relation (2), montrer queϕ1est alors la restriction àE1 d’une symétrie orthogonaleS1par rapport à une droiteΔ1passant par ³ ´ −→ O. On appelleDla droiteO,u, déterminer l’angle (D,Δ1). b.On appellef2l’application associée à la relation
bb Z−1−b= z−1−b ¡ ¢ ′ ′ etϕ2la composéeϕ2=f◦f2◦f. Montrer sans nouveaux calculs queϕ2est aussi la restriction à un en sembleE2d’une symétrie orthogonaleS2par rapport à une droiteΔ2 que l’on précisera. ′ ′ c.Prouver l’identité def◦f2◦f1◦fet deRoùRdésigne la restriction de ′ S2◦S1de P que l’on précisera.à une partie P Préciser la nature de cette applicationR. Quelles valeurs doiton donner àθpour queRsoit associée à la relation µ ¶ 3 4 Z=z+i ? 5 5 ′ 3.Soit les applications définies dans E= P−{O} par
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1 1−k ′ ′ f:x7→−,f:x→−7. 1 2 z z ′ ′′ a.Montrer que la composéeh=f◦fest la restriction à Ed’une homo 2 1 thétie que l’on précisera.
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b.Quel est l’ensemble de définition deh◦R? Montrer que l’applicationh◦Rest associée à la relation µ ¶ 3 4 (3)Z=(1−k)+iz 5 5 pour un choix convenable deR.
A. P. M. E. P.
4.On appelleul’application de P dans P associée à la relation (3). Déterminer la nature deuet ses éléments remarquables; discuter selon les valeurs deθ.
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