Baccalauréat C Polynésie juin 1991
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Polynésie juin 1991 \ EXERCICE 1 4 points Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par : f (x)= sinpix. 1. a. Tracer la courbe représentative C de f (unité graphique 8 cm). b. Calculer : I = ∫1 0 sinpix dx. c. Interpréter graphiquement cette intégrale. 2. Pour tout entier naturel n > 2, on pose : Sn = n [ f (0)+ f ( 1 n ) + f ( 2 n ) +·· ·+ f (n?1 n )] a. Interpréter graphiquement Sn en introduisant les rectangles Rk de base [k n ; k+1 n ] et de hauteur k n où 06 k 6 n?1. Faire la figure lorsque n = 8. b. Prouver que : 1+e ipin +e 2ipin +·· ·+e (n?1)ipin = 2 1?e ipin . c. En déduire que : sin pi n + sin 2pi n +·· ·+ sin (n?1)pi n = cos pi2n sin pi2n . d. Prouver finalement que : lim n?+∞ Sn = 2 pi . 3.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Polynésie juin 1991 \ EXERCICE 1 4 points Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par : f (x)= sinpix. 1. a. Tracer la courbe représentative C de f (unité graphique 8 cm). b. Calculer : I = ∫1 0 sinpix dx. c. Interpréter graphiquement cette intégrale. 2. Pour tout entier naturel n > 2, on pose : Sn = n [ f (0)+ f ( 1 n ) + f ( 2 n ) +·· ·+ f (n?1 n )] a. Interpréter graphiquement Sn en introduisant les rectangles Rk de base [k n ; k+1 n ] et de hauteur k n où 06 k 6 n?1. Faire la figure lorsque n = 8. b. Prouver que : 1+e ipin +e 2ipin +·· ·+e (n?1)ipin = 2 1?e ipin . c. En déduire que : sin pi n + sin 2pi n +·· ·+ sin (n?1)pi n = cos pi2n sin pi2n . d. Prouver finalement que : lim n?+∞ Sn = 2 pi . 3.
- triangle rectangle
- représentation paramétrique de la cardioïde
- axe des ordonnées
- construction point par point de ?
- repère orthonormal d'origine
- rectangles rk de base
- vecteur de coordonnées
Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Polynésie juin 1991\
EX E R C IC E1 Soitfla fonction définie sur [0 ; 1] par :
4 points
f(x)=sinπx. 1. a.Tracer la courbe représentativeCdef(unité graphique 8 cm). b.Calculer : Z 1 I=sinπxdx. 0 c.Interpréter graphiquement cette intégrale. 2.Pour tout entier natureln>2, on pose : · µ¶ µ¶ µ¶¸ 1 2n−1 Sn=f(0)+f+f+ ∙ ∙ ∙ +f n nn n a.Interpréter graphiquementSnen introduisant les rectanglesRkde base · ¸ k k+1k ; etde hauteuroù 06k6n−1. Faire la figure lorsquen=8. n nn b.Prouver que : 2 iπ2iπn−1 iπ n nn 1+e+e+ ∙ ∙ ∙ +e=. iπ n 1−e c.En déduire que : π π2π(n−1)πcos 2n sin+sin+ ∙ ∙ ∙ +sin=. π n nnsin 2n d.Prouver finalement que :
2 limSn=. n→+∞ π 3.Comparer les résultats des questions 1. et 2. et interpréter graphiquement.
EX E R C IC E2 5points ³ ´ −→−→ Dans un plan orienté, on considère un triangle rectangle ABC tel que l’angleCA ,CB π mesure+. 2 La hauteur issue de C coupe (BA) en H et coupe la parallèle à (BC) menée par A en D. On pose CA=bet BC=a.
1.Soitsla similitude directe transformant C en A et B en C. a.Déterminer son rapport en fonction deaetbet calculer son angle. b.En utilisant cet angle, démontrer que le centre desest le point H. c.Quelle est l’image de A pars? 2 2.En utilisant s, démontrer l’égalité : HC= HA×HB.
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
3.Soit I le milieu de [BC], J le milieu de [CA] et K le milieu de [AD]. Démontrer que le triangle IJK est rectangle en J et que dans ce triangle H est le pied de la hauteur issue de J.
PR O B L È M E
A. Une représentation paramétrique de la cardioïde
11 points
Dans un plan rapporté à un repère orthonormal d’origine 0, on se propose d’étudier la courbeΓdécrite par le point P d’affixe
iθ z=(1+co sθ)e
pourθdans [−π;π].
1.Déterminer la partie réellef(θ) et la partie imaginaireg(θ) dez. Étudier la parité des fonctionsfetg, en déduire que la courbeΓadmet un axe de symétrie que l’on précisera. On appelleraΓ1la partie deΓqui correspond à 06θ6π. ′ ′ 2.fetgétant les dérivées defetg, montrer que
′ f(θ)= −sinθ(1+2 cosθ) ′ g(θ)=cos 2θ+cosθ. ¡ ¢ −→ ′ ′ 3.Soittle vecteur de coordonnéesf(θ) ;g(θ) . −→ a.Montrer quetest un vecteur directeur de la tangente en P àΓ1, sauf pour une valeur deθque l’on précisera. b.L’arcΓ1coupe l’axe des ordonnées en un point I autre que O. Calculer l’ordonnée de I et déterminer la tangente àΓen I. −→ c.Déterminer les points de l’arcΓ1pour lesquels le vecteurtdirige un des axes de coordonnées. π 4.On suppose ici queθvérifie :<θ<π. 2 Soitαle coefficient directeur de la droite (OP). Montrer que :α=tanθ. En déduire la tangente en O àΓ. 5.Déduire des questions précédentes le tableau de variations coordonnées des fonctionsfetg(θ∈[O;π]). En prenant 4 cm pour unité, construireΓ1puisΓ. On placera avec soin les points et les tangentes étudiés cidessus.
B. Cercle de cardioïde
On désigne parCle cercle de diamètre [OA], où A est le point d’affixe 1. iθ 1.SoitMle point d’affixe cosθe .Montrer que le pointMest sur le cercleC quelle que soit la valeur deθréel. 2.On suppose maintenant queMa pour affixe :
iθ zM=cos eavec−π6θ6π −−→ iθ et on lui associe le pointPtel que le vecteurM Pait pour affixe :z=e . −−→ M P Vérifier que le pointPest sur la courbeΓdéfinie au début du problème. Mon trer que les points 0, M et P sont alignés. Calculer la longueur MP. En déduire une construction point par point deΓ. (On distinguera les cas cosθ>0 et cosθ<0.) Désormais,θest fixé.
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Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
3.Les pointsMetPétant ceux de la question précédente, on considère la trans −−→ lationtde vecteurM P. ′ Montrer que l’image partdu cercleCest un cercleC. ′ Déterminer son centre et son rayon et montrer queCetCsont tangents au pointTd’affixe :
iθ 1+e zT=. 2 ′ 4.Montrer qu’il existe une symétrie orthogonalesqui transformeCenC. On supposeM6=O, soits1la symétrie orthogonale transformant O enM. Justifier que l’on aP=t◦s1(O) et en déduire quePest l’image de O pars. −→ 5.On supposeθ6=πle vecteur, montrertdéfini dans la première partie est −→ orthogonal au vecteurT P. Déduire de cette étude une nouvelle construction deΓet de ses tangentes. π Effectuer cette construction dans le cas oùθ=. 4
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