Baccalauréat C Poitiers septembre
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Français
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1978
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Poitiers septembre 1978 \ EXERCICE 1 3 POINTS Soient a et b deux entiers premiers entre eux. 1. Montrer que a+b et ab sont premiers entre eux ; en déduire que les nombres a+b et a2?ab+b2 sont premiers entre eux ou divisibles par 3. 2. Démontrer l'égalité : P.G.C.D.(a+b ; a2?ab+b2)= P.G.C.D.(a+b ; 3). EXERCICE 2 3 POINTS Dans un plan affine P muni d'un repère ( O, ??ı , ??? ) , on considère les points A et B définis par ???OA = a2??ı et ???OB = a??? , où a est un nombre réel donné. 1. UnpointM de coordonnées x et y étant donné, discuter l'existence d'un point M ? vérifiant ???? M ?A +????M ?B +a?????M ?M = 0, selon la valeur de a et la position de M . 2. Lorsqu'elle est définie, on appelle f l'application qui à un point M de P fait correspondre le pointM ? deP défini par la relation de la question précédente. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f . PROBLÈME 14 POINTS Les parties A et B sont largement indépendantes. Partie A Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, orienté, dont B = (?? ı , ??? , ??k ) est une base orthonormée directe.
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[ Baccalauréat C Poitiers septembre 1978 \ EXERCICE 1 3 POINTS Soient a et b deux entiers premiers entre eux. 1. Montrer que a+b et ab sont premiers entre eux ; en déduire que les nombres a+b et a2?ab+b2 sont premiers entre eux ou divisibles par 3. 2. Démontrer l'égalité : P.G.C.D.(a+b ; a2?ab+b2)= P.G.C.D.(a+b ; 3). EXERCICE 2 3 POINTS Dans un plan affine P muni d'un repère ( O, ??ı , ??? ) , on considère les points A et B définis par ???OA = a2??ı et ???OB = a??? , où a est un nombre réel donné. 1. UnpointM de coordonnées x et y étant donné, discuter l'existence d'un point M ? vérifiant ???? M ?A +????M ?B +a?????M ?M = 0, selon la valeur de a et la position de M . 2. Lorsqu'elle est définie, on appelle f l'application qui à un point M de P fait correspondre le pointM ? deP défini par la relation de la question précédente. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f . PROBLÈME 14 POINTS Les parties A et B sont largement indépendantes. Partie A Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, orienté, dont B = (?? ı , ??? , ??k ) est une base orthonormée directe.
- restriction de ?
- equation cartésienne
- rotations vectorielles
- pointm ?
- asymptotes éven- tuelles
- normé direct
- relation de la question précédente
[Baccalauréat C Poitiers septembre 1978\
EX E R C IC E1 Soientaetbdeux entiers premiers entre eux.
3P O IN TS
1.Montrer quea+betabsont premiers entre eux ; en déduire que les nombres 2 2 a+beta−ab+bsont premiers entre eux ou divisibles par 3. 2.Démontrer l’égalité : ¡ ¢ 2 2 P.G.C.D.a+b;a−ab+b=P.G.C.D.(a+b; 3).
EX E R C IC E2 3P O IN TS ³ ´ −→−→ Dans un plan affinePO,muni d’un repèreı,, on considère les points A et B −→−→−→−→ 2 définis par OA=a ıet OB=a, oùaest un nombre réel donné.
1.Un pointMde coordonnéesxetyétant donné, discuter l’existence d’un point ′ Mvérifiant −−→−−→−−−→ ′ ′′ MA+MB+a MM=0, selon la valeur deaet la position deM. 2.Lorsqu’elle est définie, on appellefl’application qui à un pointMdePfait ′ correspondre le pointMdePdéfini par la relation de la question précédente. Préciser la nature et les éléments caractéristiques def.
PR O B L È M E Les parties A et B sont largement indépendantes.
14P O IN TS
Partie A ³ ´ −→−→−→ Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, orienté, dont B =ı,,kest une base orthonormée directe. Pour tout nombre réelm, on considère l’application linéaireϕmde E dans E définie par : ³ ´h i −→1−→−→ −→ ϕmı=m ı+(m+1)+2k 3 h i −→1−→−→ −→ ϕm()= −2ı−m+(m+1)k 3 h i −→1−→ −→−→ ϕm(k)=(m+1)ı−2+m k. 3 ¡ ¢ ′ ′ ′ 1. a.Déterminer les coordonnéesX;Y;Zde l’image parϕd’un vecteur −→ ude coordonnées (X;Y;Z). ³ ´³ ´³ ´ −→−→−→ b.Démontrer que les vecteursϕmı,ϕm,ϕmksont linéairement indépendants pour toutm. L’applicationϕmestelle bijective pour toutm? 2.Montrer qu’il existe exactement deux valeursm1etm2(m2<m1) demtelles queϕetϕogonales de E. Établir queϕ m1m2soient des transformations orthm1 est une rotation vectorielle dont on précisera l’axe.
Le baccalauréat de 1978
A. P. M. E. P.
3.On s’intéresse au cas oùm=1, et on poseϕm=ϕm. Soit D l’ensemble des 1 vecteurs invariants parϕ, et P le plan vectoriel orthogonal à D. On considère les vecteurs : p ³ ´³ ´ −→2−→ −→−→−→ −→2→−→− u=ı−k,v=, etw=ı+k. 2 2 −→ a.Vérifier quewappartient à D, et donner une équation cartésienne de P relativement à B. b.En considérant l’endomorphismeψde E défini par ³ ´³ ´³ ´ −→−→−→−→−→−→ ψı=u,ψ =vetψk=w, ³ ´ −→−→−→ montrer queu,v,west une base orthonormée directe de E. ³ ´ −→−→−→ c.Dans toute la suite, on oriente D parwet, par convention,u,vest une base orthonormée directe de P. ′ On désigne parϕla restriction deϕà P. Siαest une mesure de l’angle ′ deϕ(ou deϕ) dans P ainsi orienté, déterminer cosαet sinα. Partie B On désigne parPun plan affine euclidien de direction P rapporté au repère ortho ³ ´ −→−→ normé direct R =O,u,v(le point O appartient àP). Soitfl’application dePdans luimême, qui, au pointMde coordonnées (x;y), ′ fait correspondre le pointMde coordonnées 1 23 ′ x= −x−y 3 3 2 31 ′ y=x−y 3 3
1.Déterminer la nature defet en déduire l’existence et la définition analytique de son application réciproque. 2. a.Soitgla fonction numérique de la variable réellexdéfinie par µ ¶ 2 7 2x+1 g(x)=. 8x Étudier les variations deg, et tracer sa courbe représentativeCdans le planPrapporté à R. ′ b.Montrer que la courbeCimage deCparfa pour équation cartésienne
2 2 x−8y−7=0. 3.On considère un point mobileNdePdont les coordonnées à l’instantt(t décrivantR) sont données par : ( t−t x=x(t)=4e+e 1 t−t y=y(t)=2e−e . 2 ′ a.À quels instantstle pointNestil surC?
Poitiers
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Le baccalauréat de 1978
Poitiers
A. P. M. E. P.
b.Vérifier que le supportΓde la trajectoireTdeNa pour équation carté sienne
2 2 x−4y−16=0.
IdentifierΓ(nature, centre, sommets, axes de symétrie, asymptotes éven tuelles). TracerΓet préciserT(on démontrera quex(t) ety(t) décrivent respec tivement [4 ;+∞[ etR, lorsquetdécritR). c.Déterminer les vecteurs vitesse et accélération deNà l’instantt, et en déduire l’ensemble des valeurs detpour lesquelles le mouvement est accéléré.
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