Baccalauréat C Orléans–Tours septembre
3
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Français
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1979
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Orléans–Tours septembre 1979 \ EXERCICE 1 4 POINTS 1. Étudier la fonction f :R?R définie par f (x)= Log x x et tracer sa représentation graphique. 2. Montrer qu'il y a un unique couple (x ; y) d'entiers naturels non nuls tels que : x y = y x et x < y. 3. Pour tout entier n > 3, on pose un = Log3 3 + Log4 4 +·· ·+ Logn n a. Comparer un à ∫n+1 3 f (x)dx. b. En déduire la limite de la suite (un)n>3 lorsque n tend vers l'infini. EXERCICE 2 3 POINTS 1. Dans le système décimal, déterminer le chiffre des unités de 2n et de 7n , sui- vant les valeurs de l'entier naturel n. 2. Application : Trouver le chiffre des unités du nombre 35489 ?253731 ? PROBLÈME 13 POINTS Les notations et résultats donnés dans l'énoncé du 1 sont utiles dans les questions 2, 3, 4 de B. Soit ? le nombre complexe ?12 + i p3 2 . On pourra utiliser sans la démontrer l'égalité 1+ ?+ ?2 = 0. Partie A C et considéré comme espace vectoriel sur R de base B = (1 ; i).
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[ Baccalauréat C Orléans–Tours septembre 1979 \ EXERCICE 1 4 POINTS 1. Étudier la fonction f :R?R définie par f (x)= Log x x et tracer sa représentation graphique. 2. Montrer qu'il y a un unique couple (x ; y) d'entiers naturels non nuls tels que : x y = y x et x < y. 3. Pour tout entier n > 3, on pose un = Log3 3 + Log4 4 +·· ·+ Logn n a. Comparer un à ∫n+1 3 f (x)dx. b. En déduire la limite de la suite (un)n>3 lorsque n tend vers l'infini. EXERCICE 2 3 POINTS 1. Dans le système décimal, déterminer le chiffre des unités de 2n et de 7n , sui- vant les valeurs de l'entier naturel n. 2. Application : Trouver le chiffre des unités du nombre 35489 ?253731 ? PROBLÈME 13 POINTS Les notations et résultats donnés dans l'énoncé du 1 sont utiles dans les questions 2, 3, 4 de B. Soit ? le nombre complexe ?12 + i p3 2 . On pourra utiliser sans la démontrer l'égalité 1+ ?+ ?2 = 0. Partie A C et considéré comme espace vectoriel sur R de base B = (1 ; i).
- affixe z
- système décimal
- groupe multiplicatif
- soitp unplan
- nature de l'application ?
- coefficients réels
- ??gn ???1
- entier naturel
- complexe ?
[Baccalauréat C Orléans–Tours septembre 1979\
EX E R C IC E1 4P O IN TS 1.Étudier la fonctionf:R→Rdéfinie par Logx f(x)= x et tracer sa représentation graphique. 2.Montrer qu’il y a un unique couple (x;y) d’entiers naturels non nuls tels que :
y x x=yetx<y. 3.Pour tout entiern>3, on pose Log 3Log 4Logn un= + +∙ ∙ ∙ + 3 4n Z n+1 a.Comparerunàf(x) dx. 3 l uentend v b.En déduire la limite de la suite (un)n>3l’infini.orsq ers
EX E R C IC E2 3P O IN TS n n 1.Dans le système décimal, déterminer le chiffre des unités de 2, suiet de 7 vant les valeurs de l’entier natureln. 9 31 2.Application : Trouver le chiffre des unités du nombre 3548×2 537?
PR O B L È M E13P O IN TS Les notations et résultats donnés dans l’énoncé du 1 sont utiles dans les questions 2, 3, 4 deB. 1 3 Soitle nombre complexe− +i . 2 2 2 On pourra utiliser sans la démontrer l’égalité 1++=0.
Partie A Cet considéré comme espace vectoriel surRde baseB=i).(1 ; Soitϕl’application deCdansCqui à tout complexez=x+iyassocie le complexe ϕ(z)=x+y. 1.Montrer queϕest une application linéaire bijective. 2 2.Pour toutzappartenant àC, on poseN(z)= |ϕ(z)|. 2 2 Montrer queN(x+iy)=x−x y+y. 3.SoitΩl’ensemble des complexeszvérifiantN(z)=1.
Ω={z∈C,N(z)=1 ′ SoitΩl’ensemble des éléments deΩdont les coordonnées dansBsont des entiers relatifs.
′2 Ω={z∈Ω,∃(x;y)∈Zz=x+iy
Le baccalauréat de 1980
′ a.Montrer que siz=x+iyappartient àΩ, alors
A. P. M. E. P.
|x|61 et|y|61 ′ b.En déduire queΩest formé de six éléments que l’on déterminera. ¡ ¢ ′ c.DéterminerϕΩ. Donner le module et un représentant de l’argument ¡ ¢ ′ de chaque élément deϕΩ. ¡ ¢ ′ Montrer queϕΩest un groupe multiplicatif commutatif.
Partie B ³ ´ −→−→ SoitPun plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé directR=O,u,v. Un pointMdePest repéré par ses coordonnées (x;y) dansRou par son affixe z=x+iy. ′ 1.Montrer que l’image d’une ellipse de foyers F et F , de grand axe de longueur 2apar une isométrie affine est une ellipse dont on précisera les foyers et la longueur du grand axe. 2.Soit E l’ellipse dont une équation cartésienne dansRest 2 2 x y + =1. 2 2 a.Déterminer les foyers et la longueur du grand axe de E. b.Trouver une équation cartésienne dansRde l’image de E par la rotation π de centre O et dont une mesure de l’angle est(en radians). 4 ′ c.On appelleΓ(resp.Γ) l’ensemble des points dePdont l’affixe appar ′ ′ tient àΩ(resp.Ω) (ΩetΩdéfinis au 1). ′ Déduire du b. la nature deΓ. DessinerΓetΓ. 3.Soit µ ¶ a−b A= b a−b une matrice à coefficients réels, de déterminant égal à 1. SoitFl’application affine dePdansPtelle queF(0)=0 et dont l’application ³ ´ −→−→ linéaire associée a pour matrice A dans la baseu;v. (SiMa pour affixez, on noteraf(z) l’affixe deF(M). a.Montrer que, pour toutzappartenant àC,N(f(z))=N(z). En déduire queF(Γ) est inclus dansΓ. b.Montrer que pour toutzappartenant àCon a
ϕ(f(z))=(a+b)ϕ(z).
En déduire que, pour toutzappartenant àC
−1 (ϕ◦fϕ(z)=(a+b)z.
c.Soitφl’application ponctuelle associée à l’application complexeϕ. (Si Ma pour affixez,φ(M) a pour affixeϕ(z). −1 Déduire du b. la nature de l’applicationφ◦F◦φ. En préciser les élé ments caractéristiques.
Orléans–Tours
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septembre 1979
Le baccalauréat de 1980
A. P. M. E. P.
1 d.SoitGune application dePdansP. On poseG=Get pour toutn ⋆n+1n appartenant àN, on aG=G◦G. ⋆n Soitn∈N. Montrer queGest égale à l’application identique dePsi et n−1 seulement siφ◦G◦φest égale à l’application identique deP. ⋆ 4.SoitA0le point de coordonnées (1 ; 0) dansR. Pour toutnappartenant àN, n n on poseA=F(A0). n SoitSl’ensemble des pointsAlorsquendécritN. ′ a.Montrer que, sia=b=1, alorsS=Γ. ′ ′ b.Montrer queSest inclus dansΓsi et seulement sia+ibappartient àΩ. ′ Préciser l’ensemble des éléments deΩpour lesquels l’inclusion est une égalité.
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septembre 1979
