Baccalauréat C Métropole septembre 1990
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Français
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1990
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole septembre 1990 \ EXERCICE 1 4 points Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; ??e1 , ??e2 ) . On note C le cercle de centre O et de rayon R > 0 et A le point deC d'affixe R. Étant donné un entier n > 2, on note r la rotation de centre O d'angle 2pi n . On considère la suite de points (Mk )k>0 de C définie par la relation de récurrence Mk+1 = r (Mk ) et la condition initiale M0 = A. On note zk l'affixe de Mk . 1. a. Pour tout k > 0, exprimer zk+1 en fonction de zk . b. En déduire l'expression de zk en fonction de k et n. c. Comparer Mn et M0. d. Faire une figure lorsque n = 16 (on prendra R = 4 cm). 2. a. Prouver que, pour tout k > 0, MkMk+1 = 2R sin pin . b. On note Ln = M0M1 +M1M2 + ·· · +Mn?1Mn le périmètre du polygone régulier (M0, M1, · · · , Mn). Déterminer la limite de Ln lorsque n tend vers +∞. Interpréter géomé- triquement le résultat ainsi obtenu.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole septembre 1990 \ EXERCICE 1 4 points Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; ??e1 , ??e2 ) . On note C le cercle de centre O et de rayon R > 0 et A le point deC d'affixe R. Étant donné un entier n > 2, on note r la rotation de centre O d'angle 2pi n . On considère la suite de points (Mk )k>0 de C définie par la relation de récurrence Mk+1 = r (Mk ) et la condition initiale M0 = A. On note zk l'affixe de Mk . 1. a. Pour tout k > 0, exprimer zk+1 en fonction de zk . b. En déduire l'expression de zk en fonction de k et n. c. Comparer Mn et M0. d. Faire une figure lorsque n = 16 (on prendra R = 4 cm). 2. a. Prouver que, pour tout k > 0, MkMk+1 = 2R sin pin . b. On note Ln = M0M1 +M1M2 + ·· · +Mn?1Mn le périmètre du polygone régulier (M0, M1, · · · , Mn). Déterminer la limite de Ln lorsque n tend vers +∞. Interpréter géomé- triquement le résultat ainsi obtenu.
- plan orienté
- tx
- équation cartésienne de tx
- rotation d'angle pi2
- rotation
- angle
- repère ortho
Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Métropole septembre 1990\
EX E R C IC E1 4points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO ;e1, e2. On noteCle cercle de centre O et de rayonR>0 et A le point deCd’affixeR. 2π Étant donné un entiern>2, on noter.la rotation de centre O d’angle n e la suite de pointseCdéfinie par la relation de récurrence On considèr(Mk)k>0d Mk+1=r(Mk) et la condition initialeM0=A. On notezkl’affixe deMk. 1. a.Pour toutk>0, exprimerzk+1en fonction dezk. b.En déduire l’expression dezken fonction deketn. c.ComparerMnetM0. d.Faire une figure lorsquen=16 (on prendraR=4 cm). π 2. a.Prouver que, pour toutk>0,MkMk+1=2Rsin . n b.On noteLn=M0M1+M1M2+ ∙ ∙ ∙ +Mn−1Mnle périmètre du polygone régulier (M0,M1,∙ ∙ ∙,Mn). Déterminer la limite deLnlorsquentend vers+∞. Interpréter géomé triquement le résultat ainsi obtenu.
EX E R C IC E2 5points ³ ´ −→−→ Dans le plan orienté, on considère un triangle équilatéral ACB tel queAC ,AB ait π pour mesure. 3 On noteΔla droite orthogonale à (AB) passant par C et I le point deΔtel que ³ ´ −→−→π AC ,AI aitpour mesure. 4 ′ Enfin, on notesla similitude directe de centre A telle ques(C) = I etsla similitude ′ directe de centre B telle ques(I) = C.
1. a.Placer les points A, B, C et I sur la figure. π ′ b.Prouver quer=s◦sest une rotation d’angle. 2 c.Déterminer le centre de cette rotation. 2.À tout pointMdu plan, distinct des points A, B et C, on associe le pointN= ′ s(M) et le pointPtel ques(P)=M. ³ ´³ ´ −−→−−→−−→−→ a.ADéterminer les anglesM, ANet BP, BM. b.On noteσla similitude directe de centre A telle queσ(C) =M. Comparerσ◦sets◦σ. ³ ´ −−→−−→ En déduire l’image de I parσ, puis déterminer l’angleMA ,M N. En déduire une construction géométrique de N. Placer les pointsMetNsur la figure. ′ c.Construire de mêmeP(on pourra utiliser la similitude directeσde centre ′ B telle queσ(I) =P). ³ ´ −→−→π 3.Prouver que IP= INet queIP, IN.a pour mesure 2
Baccalauréat C
PR O B L È M E
A. P. M. E. P.
4 points
A On se propose d’étudier la fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ par : 1 − f(x)=(x+1)e six>0 etf(0)=0. x On noteCla courbe représentative defdans le plan rapporté à un repère ortho ³ ´ −→−→ normé O,ı,, (unité graphique : 4 cm.) 1. Variationsdef ′ a.Calculer la dérivéefdefsur [0 ;+∞[. −u b.Déterminer la limite de (1+u)e lorsqueutend vers+∞. En déduire ′ quefest dérivable en 0 et déterminerf(0). c.Étudier le sens de variation def. d.Déterminer la limite def(x) lorsquextend vers+∞. 2. Étuded’une fonction auxiliaire Soitϕla fonction définie sur [0 ;+∞[ par :
−u ϕ(u)=1−(1+u)e .
a.Calculer la dérivée deϕ. b.Prouver que, pour toutu>0 :
′ 06ϕ(u)6u. c.En déduire que, pour toutu>0 2 u 06ϕ(u)6(1) 2 3. Étudedefau voisinage de+∞ a.À l’aide de (1), établir que, pour toutx>0 : 1 06x−f(x)6. 2x b.En déduire queCadmet une asymptoteΔen+∞; préciser la position deCpar rapport àΔ. 4. Étudede la tangente àCen un point Soientxun élément de [0 ;+∞[ etTxla tangente àCau point d’abscissex. a.Déterminer une équation cartésienne deTx. ³ ´ −→ b.Montrer queTxcoupe l’axe des abscissesO ;ıau point d’abscisse x . 2 1+x+x 5. ConstructiondeC 1 ConstruireCetΔ. On précisera les tangentes àCaux points d’abscisses 1, 3 et 3.
Métropole
B
2
septembre 1990
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
Soitgla fonction définie sur [0 ;+∞[ par : x g(x)=. 2 1+x+x On se propose d’étudier la suite (upar la relation de récurrence) définie n n>0 un+1=g(un) et la condition initialeu0=1.
1. Convergencede (un) a.Établir que, pour toutx>0,g(x)6x; résoudre l’équationg(x)=x. b.Prouver que la suite (un) est décroissante. c.Montrer que (un) converge, puis que sa limiteaest nulle. 2. Comportementasymptotique de(un) µ ¶ 1 1 a.Prouver que, pour tout entiern>1,g6. n n+1 b.Étudier les variations degsur [0 ; 1]. 1 c.En déduire que, pour toutn>1,un−16. n 1 1 d.Pour tout entierp>0, exprimer−en fonction deup. up+1up Établir que :
1 11 16−61+. up+1upp+1 En déduire que, pour toutn>1 :
1 11 1 n6 6n+1∙ ∙ ∙ ++ + +. un2 3n Z p 1 1 e.Pour tout entierp>et d2, comparert. pp−1t En déduire que, pour toutn>2 :
1 11 + +∙ ∙ ∙ +6lnn. 2 3n f.Déterminer la limite denunlorsquentend vers+∞.
Métropole
3
septembre 1990
