Baccalauréat C Métropole remplacement
3
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Français
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1992
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole remplacement \ septembre 1992 EXERCICE 1 4 points Soit f la fonction définie pour x > 1 2 par : f (x)= x 2 2x?1 . 1. Démontrer que, pour tout x > 1, f (x)> 1. On peut donc définir la suite u = (un ) par : { u0 = 2 un+1 = f (un ) , pour tout entier natureln On se propose, dans la suite de l'exercice, d'exprimer un en fonction de n. 2. On considère les suites v = (vn) et w = (wn) telles que, pour tout entier naturel n, vn = un ?1 un et wn = ln(vn) . (ln désigne le logarithme népérien). a. Vérifier que vn et wn sont définies pour tout entier naturel n. b. Démontrer que la suite w est une suite géométrique. c. Exprimer, pour tout entier naturel n, wn puis vn en fonction de n et en déduire que : un = 1 1? ( 1 2 )n . En déduire la limite de la suite u. EXERCICE 2 5 points On donne, dans le plan orienté, un triangle isocèle OAO? avec (???AO , ??? AO? ) = pi 2 .
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole remplacement \ septembre 1992 EXERCICE 1 4 points Soit f la fonction définie pour x > 1 2 par : f (x)= x 2 2x?1 . 1. Démontrer que, pour tout x > 1, f (x)> 1. On peut donc définir la suite u = (un ) par : { u0 = 2 un+1 = f (un ) , pour tout entier natureln On se propose, dans la suite de l'exercice, d'exprimer un en fonction de n. 2. On considère les suites v = (vn) et w = (wn) telles que, pour tout entier naturel n, vn = un ?1 un et wn = ln(vn) . (ln désigne le logarithme népérien). a. Vérifier que vn et wn sont définies pour tout entier naturel n. b. Démontrer que la suite w est une suite géométrique. c. Exprimer, pour tout entier naturel n, wn puis vn en fonction de n et en déduire que : un = 1 1? ( 1 2 )n . En déduire la limite de la suite u. EXERCICE 2 5 points On donne, dans le plan orienté, un triangle isocèle OAO? avec (???AO , ??? AO? ) = pi 2 .
- cm du bord gauche de la feuille
- centre du carré aobo?
- tangente
- coefficient directeur de la tangente àc
- point m2 d'affixe z2
Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Métropole remplacement\ septembre 1992
EX E R C IC E1 4points 1 Soitfla fonction définie pourx>par : 2 2 x f(x)=. 2x−1 1.Démontrer que, pour toutx>1,f(x)>1. On peut donc définir la suiteu=(un) par : ½ u0=2 un+1=f(un) ,pour tout entier natureln On se propose, dans la suite de l’exercice, d’exprimerunen fonction den. 2.On considère les suitesv=(vn) etw=(wn) telles que, pour tout entier naturel n, un−1 vn=etwn=ln (vn) . un (ln désigne le logarithme népérien). a.Vérifier quevnetwnsont définies pour tout entier natureln. b.Démontrer que la suitewest une suite géométrique. c.Exprimer, pour tout entier natureln,wnpuisvnen fonction denet en déduire que : 1 un=¡ ¢. n 1 1− 2 En déduire la limite de la suiteu.
EX E R C IC Epoints2 5 ³ ´ −→−−→π ′ ′ On donne, dans le plan orienté, un triangle isocèle OAOavec AO, AO=. 2 ′ ′ Les cerclesCetCse recoupent en B.passant par A et de centres respectifs O et O ′ On note I le centre du carré AOBO . On présentera les données sur une figure que l’on complètera progressivement.
′ ′ 1.D et Détant les points diamétralement opposés à A sur les cerclesCetCres pectivement, démontrer, à l’aide d’une homothétie de centre A, que les points ′ D, B et Dsont alignés. ′ 2.Soit M un point du cercleC(M6=A, M6=l’intersection de la droiteB) et M ′ (MB) avec le cercleC, ′ a.Vérifier que Mest distinct de A, puis démontrer que : ³ ´³ ´ −−−→→− −−→−→ ′ ′ AM , AM=AD , AD+kπ, aveck∈Z.
b.En déduire que la rotationrde centre A qui transforme O en O’ trans ′ forme la droite (AM) en la droite (AM ).
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
′ c.Prouver quertransforme M en M . ′ ′ 3.A) avec le cercleSoit N le point d’intersection de la droite (MC. Soit Nle point ′ ′ d’intersection de la droite (MA) avec le cercleCest l’image. Démontrer que N de N par la rotationr. 4.On suppose que M est distinct de D. ′ a.Prouver que N est distinct de A. On construit alors le carré NAN F. b.Montrer que les points B et F sont les images respectives des points O et N par une similitude directesdont on précisera le centre, le rapport et l’angle. c.Construire l’image du cercleCpars.
PR O B L È M E11 points Dans la première partie du problème on étudie une fonction f , dont on appelle Cla courbe représentative dans un repère orthonormal. Dans les deuxième et troisième parties on construit l’image de C par des transforma tions du plan. La dernière partie a pour objet l’étude de l’effet de ces transformations sur les aires.
Partie A ³ ´ −→−→ Le plan P est rapporté à un repère orthonormalO,ı,. Soitfla fonction définie sur [0 ;+∞[ par : ½ f(x)=2x(1−lnx), pourx>0, f(0)=0. (ln désigne le logarithme népérien.) ′ 1. a.Calculer la dérivéef, defsur [0 ;+∞[. En déduire les variations de ! b.Déterminer la limite defquandxtend vers+∞. c.Montrer que la fonctionfest continue en zéro. La fonctionfestelle dérivable en zéro ? d.Dresser le tableau de variations de la fonctionf. 2.On noteCla courbe représentative de la fonctionf a.On note N le point deCd’abscisse 1, R le point d’intersection deCet de l’axe des abscisses, Q le point deCoù la tangente est parallèle à la droite d’équationy=2x. Calculer les coordonnées des points N, R, Q et donner les coefficients directeurs des tangentes àC, en chacun de ces points. b.En adoptant 4 cm pour l’unité et en plaçant l’axe des ordonnées à 6 cm du bord gauche de la feuille, construireC, ainsi que les tangentes àCen N, Ret Q. Partie B 1.SoitT1l’application de P dans P qui au pointM(x;y) d’affixez,z=x+iy, associe le pointM1d’affixez1=z, oùzdésigne le conjugué dez. a.Quelle est la nature géométrique deT1? b.On appelleC1l’image deCparT1. ReprésenterC1sur le même dessin queC.
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Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
2.SoitT2l’application de P dans P qui au pointMd’affixezassocie le pointM2 1 d’affixez2= −z. 2 e a.Montrer queT2est la composée deT1et d’une homothétie que l’on pré cisera. b.Déterminer les coordonnées N2et R2images de N et R parT2. Placer N2 et R2sur la figure. ¡ ¢ c.Calculer en fonction dexety, les coordonnéesx2;y2du pointM2 image deMparT2puis exprimerxetyen fonction dex2ety2. d.SoitC2=T2(C)∙ Montrer queC2est la courbe représentative de la fonctionf2définie sur ]− ∞; 0[ par : ½ f2(x)=2x[1+ln(−x)], six<0, f2(0)=0. e.Représenter la courbeC2sur le même dessin queC. Partie C 1.Soitaun nombre de l’intervalle ]0 ; e[. Calculer à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale Z e I=xlnxdx a . Z e 2.En déduire la valeur deA=f(x) dx. Que représenteA? a 2 e 3.Montrer queAadmet pour limitequandatend vers zéro. On admettra que 2 cette limite représente l’aire du domaine limité parC, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=0 etx=e. 2 4.Déduire des questions précédentes l’aire en cmdu domaine limité parC1et l’axe des abscisses, puis celle du domaine limité parC2et l’axe des abscisses. 2 Donner une valeur approchée au cmprès de chacune de ces aires.
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