Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1994
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1994 \ EXERCICE 1 5 points Enseignement de spécialité Le plan P est muni du repère orthonormal direct ( O ; ??e1 , ??e2 ) (unité graphique : 2 cm). On désigne par E l'ellipse d'équation : x2 9 + y2 4 = 1; s est la similitude de centre O, d'angle pi4 , de rapport 1 p2 , et E1 est l'image de E pars. 1. a. Donner les coordonnées des sommets et foyers de E et placer ces . points dans P. b. L'un des foyers de E est F et ∆ est la directrice qui lui est associée. On désigne par M un point de E et par H son projeté orthogonal MF sur ∆. Donner la valeur de MF MH. 2. On note ∆1, F1, H1, M1 les images respectives de E , F, H , M par la similitude s. a. Montrer que pour tout point M de E on a MF MH = M1F1 M1H1 . b. Prouver que E1 est l'ellipse de foyer F1 ayant ∆1 pour directrice associée et d'excentricité p5 3 . Quels sont les deux axes de E1 ? 3. a. z et z1 sont les affixes respectives deM et de son imageM1 par s ;montrer que z1 = 12(1+ i)z et que si M 6=O, le triangle OMM1 est rectangle isocèleen M1.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1994 \ EXERCICE 1 5 points Enseignement de spécialité Le plan P est muni du repère orthonormal direct ( O ; ??e1 , ??e2 ) (unité graphique : 2 cm). On désigne par E l'ellipse d'équation : x2 9 + y2 4 = 1; s est la similitude de centre O, d'angle pi4 , de rapport 1 p2 , et E1 est l'image de E pars. 1. a. Donner les coordonnées des sommets et foyers de E et placer ces . points dans P. b. L'un des foyers de E est F et ∆ est la directrice qui lui est associée. On désigne par M un point de E et par H son projeté orthogonal MF sur ∆. Donner la valeur de MF MH. 2. On note ∆1, F1, H1, M1 les images respectives de E , F, H , M par la similitude s. a. Montrer que pour tout point M de E on a MF MH = M1F1 M1H1 . b. Prouver que E1 est l'ellipse de foyer F1 ayant ∆1 pour directrice associée et d'excentricité p5 3 . Quels sont les deux axes de E1 ? 3. a. z et z1 sont les affixes respectives deM et de son imageM1 par s ;montrer que z1 = 12(1+ i)z et que si M 6=O, le triangle OMM1 est rectangle isocèleen M1.
- coordonnées des sommets
- orthogonal mf sur ∆
- ellipse de foyer f1
- boule dans l'urne
- points enseignement obligatoire
- construction du point m1
- repère orthonormal direct
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Durée : 4 heures
1 [Baccalauréat C Métropole groupe 4juin 1994\
EX E R C IC Epoints1 5 Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan P est muni du repère orthonormal directO ;e1,e2(unité graphique : 2 cm). On désigne parEl’ellipse d’équation : 2 2 x y + =1; 9 4 π1 s, et, de rapportest la similitude de centre O, d’angleE1est l’image deEpar 4 2 s. 1. a.Donner les coordonnées des sommets et foyers deEet placer ces . points dans P. b.L’un des foyers deEest F etΔest la directrice qui lui est associée. On désigne parMun point deEet parHson projeté orthogonal MF sur MF Δ.. Donner la valeur de MH 2.On noteΔ1, F1,H1,M1les images respectives deE, F,H,Mpar la similitude s. MFM1F1 a.Montrer que pour tout pointMdeEon a=. MHM1H1 b.Prouver queE1est l’ellipse de foyer F1ayantΔ1pour directrice associée 5 et d’excentricité. Quels sont les deux axes deE1? 3 3. a.zetz1sont les affixes respectives deMet de son imageM1pars; montrer 1 quez1=(1+i)zet que siM6=O, le triangle OM M1est rectangle isocèle 2 enM1. Décrire la construction du pointM1à partir d’un pointMdonné distinct de O. b.Construire sur la figure du 1. a, les foyers et sommets deE1; terminer la figure en dessinantEetE1avec des couleurs différentes,
EX E R C IC E2 5points Enseignement obligatoire Les questions1.et2.sont indépendantes Dans cet exercice, les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles Une urne contient quinze boules indiscernables au toucher dont une noire, cinq blanches et neuf rouges. On tire simultanément au hasard trois boules de l’urne. 1.Xest la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches figurant dans le tirage, a.Donner la loi de probabilité de X. 1. AixMarseille,Corse, Montpellier, Nice, Toulouse
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
b.Calculer l’espérance mathématique de X, c.Donner la fonction de répartition F de la variable aléatoire X. 2. a.Calculer la probabilité des évènements suivants : E : «parmi les trois boules du tirage figurent la noire et au moins une rouge ». F : « le tirage est tricolore ». b.Calculer la probabilité que le tirage soit tricolore sachant qu’y figurent la boule noire et au moins une boule rouge.
EX E R C IC Epoints2 5 Enseignement obligatoire Ce sujet peut être traité par tous, mais, compte tenu des difficultés, il concerne es sentiellement les élèves qui suivent l’enseignement de spécialité. Première partie ³ ´ −→−→ Le plan P est muni d’un repère orthonormalO,ı,(unité graphique : 3 cm). L’objet de cette partie est l’étude d’une fonctionf. 1.On considère la fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ par ln(1+x) f(0)=1 etf(x)=pourx>0. x Montrer quefest continue. 2. a.Étudier le sens de variation de la fonctiongdéfinie sur [0 ;+∞[ par : µ ¶ 2 3 x x g(x)=ln(1+x)−x− +; 2 3 2 3 x x + Calculerg(0) et en déduire que surR, ln(1+x)6x− +. 2 3 2 x b.Par une étude analogue, montrer que six>0, alors ln(1+x)>x−. 2 c.Établir que pour toutxstrictement positif on a : 1 ln(1+x)−x1x −6 6− +. 2 2x2 3 1 ′ En déduire quefest dérivable en zéro et quef(0)= −. 2 3. a.Soithla fonction définie sur [0 ;+∞[ par x h(x)= −ln(1+x). 1+x Étudier son sens de variation et en déduire le signe dehsur [0 ;+∞[. h(x) ′ b.Montrer que sur [0 ;+∞[,f(x)=. 2 x c.Dresser le tableau de variations defen précisant la limite defen+∞. ³ ´ −→−→ d.On désigne parCla représentation graphique defdans le repèreO,ı,. Construire la tangenteTàCau point d’abscisse 0.
Deuxième partie
L’objet de cette partie est la résolution de l’équationf(x)=x.
Métropole groupe 3
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Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
1. a.Démontrer que l’équationf(x)=xadmet une unique solution sur ]0 ;+∞[ · ¸ 1 que l’on noteraα. Montrer queα∈.; 1 2 · ¸· ¸ 1 1 b.Montrer que six∈, alors; 1f(x)∈.; 1 2 2 2.hétant la fonction définie au 3. a. de la première partie, montrer que si · ¸ 1 x∈; 1alors : 2 µ ¶ 1 h(1)6h(x)6het que|h(x)|60, 2. 2 · ¸ 1 ¯ ¯ ′ En déduire que sur l’intervalle; 1, on af(x)60, 8. 2 3.Soitula suite définie paru0=1 etun+1=f(un) pour tout entiern. 1 a.Montrer que pour tout entier naturelnon a :6un61. 2 b.Montrer que pour tout entier naturelnon a|un+1−α|60, 8|un−α|. 1 n c.Montrer que pour tout entier naturelnon a :|un−α|6×(0, 8). 2 En déduire que la suiteuconverge versα. 1 n d.En utilisant l’inégalité|un−α|6×(0, 8), à partir de quelle valeurn0 2 −3 deneston sûr que|un−α|610 ? Calculeruà l’aide de votre calculatrice. n0
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