Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1991
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1991 \ EXERCICE 1 4 points Enseignement obligatoire Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . On note A le point d'affixe 2. Soit ? l'application de P vers P qui à tout point M d'affixe z associe le point M ? = ?(M) d'affixe z ? défini par : z ? = 3+ ip3 4 z+ 1?ip3 2 . 1. Déterminer : a. l'affixe de l'image ?(A) du point A, b. l'affixe du point P tel que ?(P)= 0. 2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de ? (on pourra utiliser les résultats de la question 1.) 3. Lorsque le point M est distinct du point A : a. démontrer que le triangle AMM ?, où M ? =?(M), est rectangle en M ?. b. Le point M et le milieu du segment [AM] étant donné, en déduire une construction au compas du point M ?. EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? ) . Soit (C ) la courbe dont une représentation paramétrique est : { x = 2et +e?t y = 2et ?e?t où le réel t décrit R.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1991 \ EXERCICE 1 4 points Enseignement obligatoire Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . On note A le point d'affixe 2. Soit ? l'application de P vers P qui à tout point M d'affixe z associe le point M ? = ?(M) d'affixe z ? défini par : z ? = 3+ ip3 4 z+ 1?ip3 2 . 1. Déterminer : a. l'affixe de l'image ?(A) du point A, b. l'affixe du point P tel que ?(P)= 0. 2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de ? (on pourra utiliser les résultats de la question 1.) 3. Lorsque le point M est distinct du point A : a. démontrer que le triangle AMM ?, où M ? =?(M), est rectangle en M ?. b. Le point M et le milieu du segment [AM] étant donné, en déduire une construction au compas du point M ?. EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? ) . Soit (C ) la courbe dont une représentation paramétrique est : { x = 2et +e?t y = 2et ?e?t où le réel t décrit R.
- affixe de l'image ?
- unique solution de l'équation ?
- coordonnées des points d'intersection de la courbe
- courbe
- intervalle contenu
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Durée : 4 heures
1 [Baccalauréat C Métropole groupe 4juin 1991\
EX E R C IC E1 4points Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan complexePO,est rapporté à un repère orthonormal directu,v. On note A le point d’affixe 2. ′ Soitϕl’application dePversPqui à tout pointMd’affixezassocie le pointM= ′ ϕ(M) d’affixezdéfini par :
′ 3+1 i3i 3 ′ z=z+. 4 2 1.Déterminer : a.l’affixe de l’imageϕ(A) du point A, b.l’affixe du point P tel queϕ(P)=0. 2.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques deϕ(on pourra utiliser les résultats de la question 1.) 3.Lorsque le pointMest distinct du point A : ′ ′′ a.démontrer que le triangle AM M, oùM=ϕ(M), est rectangle enM. b.Le pointMet le milieu du segment [AM] étant donné, en déduire une ′ construction au compas du pointM.
EX E R C IC Epoints2 4 Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,(. SoitC) la courbe dont une représentation paramétrique est : ½ t−t x=2e+e où le réeltdécritR. t−t y=2e−e 1.SoitM(a;b) un point de (C). −→ a.Donner, en fonction deaetbles coordonnées du vecteur directeurude la tangente enMà (C). b.SoitNle point de coordonnées (b;a) etTle point défini par : −−→−→−−−→ OT=OM+ON. Montrer que la droite (M T) est la tangente enMà (C). 2. a.Montrer que la courbe (C) est contenue dans l’hyperbole (H) d’équa 2 2 tion :x−y=8. b.Tracer l’hyperbole (H) et préciser ses éléments caractéristiques suivants : centre, sommets, foyers, asymptotes.
PR O B L È M E ∗ ILa fonctionfest définie surRpar : + 1 f(x)=x−2+lnx. 2 1. AixMarseille,Montpellier, Nice–Corse, Toulouse
12 points
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
1. a.Calculer les limites defaux limites de l’ensemble de définition. b.Étudier le sens de variations def(on nne demande pas de représenta tion graphique). ∗ 2. a.Montrer que l’équationf(x)=0 admet dansRune solution uniqueℓet + queℓ∈]1 ; 2[. ∗ b.Étudier le signe def(x) lorsquexdécritR. +
II.On se propose, dans cette partie, de calculer une valeur approcheée deℓà −2 10 près. a.Soitϕla fonction numérique définie sur l’intervalle [1 ; 2] par : 1 ϕ(x)=2−lnx. 2 i. Étudierles variations deϕ. Prouver que l’image parϕde l’intervalle [1 ; 2] est un intervalle contenu dans [1 ; 2]. ii. Montrerqueℓest l’unique solution de l’équationϕ(x)=x. b.On considère alors la suiteUdéfinie surNpar : ½ U0=1 Un+1=ϕ(Un) pour tout entiern i. Démontrerque, pour tout entiernon a : 16Un62. 1 ′ ii. Montrerque, pour tout réelxde [1 ; 2], on a : |ϕ(x)|6. 2 iii. Enutilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que, pour tout entiern,Un+1−ℓ6|Un−ℓ|. iv. Montrerque la suiteUconverge versℓ. el qusoit une valeur app v. Déterminerun entiern0t eUn0rochée à −2−2 10 prèsdeℓ. Donner un encadrement deUnd’amplitude 10.
IIILa fonctiongest définie sur [0 ; 1] par : ( g(0)=0 7 2 12 g(x)= −x+x−xlnxpour tout réelxtel que 0<x<1. 4 8 a.Étudier la dérivabilité degen 0. ′ ′ b.Soitgla dérivée de la fonctiong. Calculerg(x) pourx6=0, puis vérifier que : µ ¶ 1 ′ g(x)=x fpour tout réelxtel que 0<x61. x ′ c.En déduire le signe deg(x) lorsquexdécrit ]0 ; 1]. Dresser le tableau de variations de la fonctiong.
IVDans cette partie l’objectif est le tracé de la courbe représentative (C) de la fonc ³ ´ −→−→ tiongO,, dans un plan muni du repère orthonormalı,: unité graphique : 10 cm. 1. a.Montrer qu’une équation de la tangente (D) à la courbe (C) représenta tive de la fonctiongen son point d’abscisse 0 esty=x.
Métropole groupe 4
2
juin 1991
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
b.Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe (C) et de la droite (D). c.Étudier la position relative de (C) et de (D). h i 7 − 2 d.Soitα0 ;e par:la fonction définie sur
α(x)=g(x)−x.
Étudier le sens de variations de la fonctionαet en déduire que pour tout h i 7 − réelxa :e on0 ;de l’intervalle 2
−5 06α(x)65∙10 . Sachant que l’épaisseur d’un trait de crayon est de l’ordre du dixième h i 7 − 2 de millimètre, estil possible de distinguer, sur l’intervalle0 ;e la courbe (C) de la droite (D) ? 2.Soit (Γ) la courbe représentative de la fonctionβdéfinie sur [0 ; 1] par : 7 2 β(x)= −x+x. 8 a.Montrer que la droite (D) est la tangente à la courbe (Γ) en son point d’abscisse 0. b.Étudier la position relative de (C) et de (Γ). c.Tracer, sur un même graphique, la droite (D) et les courbes (Γ) et (C).
Métropole groupe 4
3
juin 1991
