Baccalauréat C Lyon juin
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Lyon juin 1980 \ EXERCICE 1 4 POINTS On considère l'entier naturel A qui s'écrit 1x416 dans le système de numération de base sept. 1. Déterminer x pour que a. A soit divisible par six ; b. A soit divisible par cinq. En déduire qu'il existe x tel que A soit divisible par trente. 2. On donne à x la valeur zéro. Déterminer l'écriture décimale de A. Quel est le nombre de diviseurs positifs de A ? Quel est l'ensemble des diviseurs positifs de A qui sont premiers avec trois ? EXERCICE 2 4 POINTS Soit ? un nombre réel vérifiant 0
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[ Baccalauréat C Lyon juin 1980 \ EXERCICE 1 4 POINTS On considère l'entier naturel A qui s'écrit 1x416 dans le système de numération de base sept. 1. Déterminer x pour que a. A soit divisible par six ; b. A soit divisible par cinq. En déduire qu'il existe x tel que A soit divisible par trente. 2. On donne à x la valeur zéro. Déterminer l'écriture décimale de A. Quel est le nombre de diviseurs positifs de A ? Quel est l'ensemble des diviseurs positifs de A qui sont premiers avec trois ? EXERCICE 2 4 POINTS Soit ? un nombre réel vérifiant 0
- images des racines z
- restriction de ?a
- hyperbole
- ?? ?
- vecteur de coordonnées
- e?t
[Baccalauréat C Lyon juin 1980\
EX E R C IC E1 4P O IN TS On considère l’entier naturelAqui s’écrit 1x416 dans le système de numération de base sept.
1.Déterminerxpour que a.Asoit divisible par six ; b.Asoit divisible par cinq. En déduire qu’il existextel queAsoit divisible par trente. 2.On donne àxla valeur zéro. Déterminer l’écriture décimale deA. Quel est le nombre de diviseurs positifs deA? Quel est l’ensemble des diviseurs positifs de A qui sont premiers avec trois ?
EX E R C IC E2 4P O IN TS Soitαun nombre réel vérifiant 0<α<π. On considère l’équation enz 2 22 (E)zsinα−4zsinα+4+cosα=0. 1.Résoudre (E) dans le corps des nombres complexes. ′ ′′′ ′′ 2.On désigne parMetMles images des racineszetzde (E) dans un repère ³ ´ −→−→ orthonormé O,u,vdu plan complexe. ′ ′′ Montrer que, lorsqueαvarie dans ]0 ;π[, l’ensemble des pointsMetMest une branche d’une hyperbole (H). Préciser les sommets et les asymptotes de (H) et dessiner la branche d’hyperbole en question.
PR O B L È M E
12P O IN TS
Partie A On désigne parEun espace vectoriel surRde dimension 3 et on noteBune base ³ ´ −→−→−→ ı,,kdeE. Étant donné un nombre réela, on considère l’endomorphismeϕadeEdéfini par ³´ −→ −→−→ ϕı=a ı−2 ³´ −→ −→−→ ϕ =2ı+a ³ ´ −→−→ ϕk=a k ³ ´ −→−→ On désigne par P le plan vectoriel de baseı,. ³ ´ −→−→ 1. a.Vérifier que, pour toutu∈P,ϕau∈P. −→ b.Soituun vecteur de coordonnées (x;y;z) dans la baseB. ³ ´ −→ Quelles sont les coordonnées deϕaudans cette base ? Déterminer le noyau deϕasuivant les valeurs dea. À quelle condition ϕaestil bijectif ? Dans le cas contraire, déterminer l’image deϕaet, pour −→−→ tout vecteurvde P, l’ensemble des antécédents devparϕa.
Le baccalauréat de 1980
A. P. M. E. P.
2.On suppose queEest euclidien et queBest orthonormée. ³ ´ −→−→ SoitPO,un plan affine de direction P rapporté à un repèreı,. On dé signe parsla restriction deϕaau plan vectoriel P et parSl’application af ′ fine dePdansPassociée àstelle queSde coordonnées(O) soit le point O p (1−2 3; 2). p Montrer queSest une similitude directe deP. Déterminer poura=le2 3 rapport et le centre deSet une mesure en radians de son angle dansPorienté ³ ´ −→−→ parı,. Partie B SoitFl’espace vectoriel des fonctions numériques réelles définies sur l’intervalle h i π π −; deR. On considère le sousespace vectorielEdeFengendré par les fonc 2 2 h i π π tionsf1,f2,f3définies sur−; par 2 2 −t−t−t f1(t)=e cost,f1(t)=e sint,f3(t)=e .
¡ ¢ 1. a.Montrer quef1,f2,f3est une base deE. ¡ ¢ b.Soitfun élément deEde coordonnées (x;y;z) dans la basef1,f2,f3. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est un élément deEdont on don ¡ ¢ nera les coordonnées dans la basef1,f2,f3. c.En déduire que tout élément f deEa une primitive F et une seule dansE et déterminerF. ˜ 2.Soitaun nombre réel. À tout élémentfdeEon associe la fonctionfdéfinie h i π π sur−; par 2 2 ′ ˜ f(t)=(a+2)f(t)+2f(t) ′ oùfdésigne la fonction dérivée def. Montrer que l’on définit ainsi une ap plication deEdansEnotéeψaet queψaest un endomorphisme deE. ¡ ¢ ˜ Calculer les coordonnées deψa(f)=fdans la basef1,f2,f3en fonction des coordonnées defdans cette base. Partie C On applique les résultats des parties A et B du problème au cas particulier où E =E, ¡ ¢ B=f1,f2,f3eta=0. On a alorsϕ0=ψ0. Soitgl’élément deEdéfini par −t g(t)=e (cost−sint) h i π π pour toutt∈ −; . 2 2 h i π π 1.Étudier les variations deget montrer quegest une bijection de−; 2 2 sur un intervalle J qu’on déterminera. Quel est le domaine de dérivabilité de −1 la fonction réciproqueg? Calculer le nombre dérivé en 1 de cette fonction −1 g 2.Tracer la courbe représentative C degdans un repèreRorthonormé (unité : π 1 cm). Placer les points d’abscisses 0 et. Tracer aussi la courbe représenta 4 −1−1 tive Cde la fonction réciproqueg. Calculer l’aire en centimètres carrés du domaine D défini par la courbe (C), π π l’axe Ox et les droitesx= −,x=. 2 2
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A. P. M. E. P.
3.Montrer que l’ensembleEgdes fonctions antécédentes degparϕ0est consti h i π π tué par les fonctionsgα,α∈R, définies sur−; par 2 2 µ ¶ 1 1 −t gα(t)=eα+cost+sint. 2 2
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Étudier les variations degαsuivant les valeurs deα. Tracer les courbes représentatives deg1etg3dans un repère orthogonal − 2 2 ³ ´ −→−→−→−→ ′ R=O,ı,. (On prendra°ı°=3 cm,°°=1 cm). On pourra utiliser les valeurs approchées suivantes : π π − e≈; e4, 8≈0, 6. 2 6
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