Baccalauréat C juin 1982 Nantes
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1982
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1982 Nantes \ EXERCICE 1 4 points Une urne contient neuf jetons numérotés de 1 à 9, indiscernables au toucher. 1. On tire simultanément deux jetons de l'urne et on note leurs numéros : a et b. On suppose qu'il y a équiprobabilité de sortie pour chaque jeton. On consi- dère la variable aléatoire X associant à chaque paire de jetons tirés, a, b, le plus grand commun diviseur de a et de b. a. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X. b. Déterminer la loi de probabilité de X et sa fonction de répartition. On représentera graphiquement celle-ci dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . c. Déduire de la question précédente les probabilités des évènements sui- vants : A : « l'équation (x, y) ?Z2 et ax+by = 1 admet des solutions », B : « l'équation (x, y) ?Z2 et ax+by = 2 admet des solutions », C : « l'équation (x, y)?Z2 et ax+by = 12 admet des solutions ». 2. On effectue maintenant l'épreuve suivante : on tire une paire de jetons, on note a et b, on remet les jetons dans l'urne, on effectue un nouveau tirage, et ainsi de suite.
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1982 Nantes \ EXERCICE 1 4 points Une urne contient neuf jetons numérotés de 1 à 9, indiscernables au toucher. 1. On tire simultanément deux jetons de l'urne et on note leurs numéros : a et b. On suppose qu'il y a équiprobabilité de sortie pour chaque jeton. On consi- dère la variable aléatoire X associant à chaque paire de jetons tirés, a, b, le plus grand commun diviseur de a et de b. a. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X. b. Déterminer la loi de probabilité de X et sa fonction de répartition. On représentera graphiquement celle-ci dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . c. Déduire de la question précédente les probabilités des évènements sui- vants : A : « l'équation (x, y) ?Z2 et ax+by = 1 admet des solutions », B : « l'équation (x, y) ?Z2 et ax+by = 2 admet des solutions », C : « l'équation (x, y)?Z2 et ax+by = 12 admet des solutions ». 2. On effectue maintenant l'épreuve suivante : on tire une paire de jetons, on note a et b, on remet les jetons dans l'urne, on effectue un nouveau tirage, et ainsi de suite.
- coordonnées dans la base
- ???gd ?
- jetons dans l'urne
- fonc- tion des coordonnées
- coordonnées
- vecteurs vitesse
- repère orthonormé
Durée : 4 heures
[Baccalauréat C juin 1982 Nantes\
EX E R C IC Epoints1 4 Une urne contient neuf jetons numérotés de 1 à 9, indiscernables au toucher. 1.uméros :On tire simultanément deux jetons de l’urne et on note leurs naet b. On suppose qu’il y a équiprobabilité de sortie pour chaque jeton. On consi dère la variable aléatoire X associant à chaque paire de jetons tirés,a,b, le plus grand commun diviseur deaet deb. a.Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X. b.ition. OnDéterminer la loi de probabilité de X et sa fonction de répart représentera graphiquement celleci dans le plan rapporté à un repère ³ ´ −→−→ orthonormé O,ı,. c.Déduire de la question précédente les probabilités desévènements sui vants : 2 A : « l’équation (x,y)∈Zeta x+b y=1 admet des solutions », 2 B : « l’équation (x,y)∈Zeta x+b y=2 admet des solutions », 2 C : « l’équation (x,y)∈Zeta x+b y=12 admet des solutions ». 2.On effectue maintenant l’épreuve suivante : on tire une paire de jetons, on noteaetbge, et, on remet les jetons dans l’urne, on effectue un nouveau tira ainsi de suite. a.Quelle est la probabilité d ?obtenir exactement trois fois 1 pour plus grand commun diviseur deaet debau cours de quatre tirages successifs ? b.Combien fautil effectuer de tirages pour que la probabilité d’avoir au moins une fois 1 pour plus grand commun diviseur deaet debau cours den999 ?tirages successifs soit supérieure à 0,
EX E R C IC Epoints2 4 Soit E3l’espace affine euclidien orienté, rapporté au repère orthonormé direct ³ ´ −→−→−→ O,ı,,k. 1.fdésigne l’application affine de E3définie analytiquement par 1 3 ′ x= −x−y 2 2 3 1 ′ y=x−y 2 2 ′ z=z.
Démontrer quefest une rotation affine; préciser son axe et une mesure de son angle. 2.On considère les quatre points :
A(2 ; 0 ; 0),B(−3 ; 0),C(1 ;−1 ;−3 ;; 0 ; 4)0), D(0 On poseF={A, B, C, D}. a.Vérifier que ABC est un triangle équilatéral de centre de gravité O.
Terminale C
A. P. M. E. P.
b.Vérifier que l’applicationflaisseFglobalement invariant. 3.Soitgune isométrie affine de E3qui laisseFglobalement invariant. a.Déterminer l’isobarycentre G des quatre points A, B, C, D. Calculer −→−→−−−→→ °GA°,°GB°,°GC°,°GD°. b.En déduire queglaisse invariant les points G et D. c.En déduire l’ensembledes déplacements de E3qui laissentFglobale ment invariant. 4.Soitsun antidéplacement de E3qui laisseFglobalement invariant. a.Démontrer quesest associé à une symétrie vectorielle orthogonale par rapport à un plan vectoriel ; en déduire la nature géométrique des. b.Quel est l’ensemble des isométries affines de E3qui laissentFglobale ment invariant ?
PR O B L È M E12 points Sauf pour les notations, les trois parties du problème sont indépendantes ³ ´ −→−→ P est un plan affine euclidien orienté muni d’un repère orthonormé directO,u,v; Cest l’ensemble des nombres complexes ; i est le nombre de complexe de module 1 π et d’argument. Les affixes des points de P sont toujours données par rapport au 2 ³ ´ −→−→ repère O,u,v. fetgsont les deux applications deCversCdéfinies par, pour toutzdeC, 3 2 f(z)=z+4(1−i)z−2(2+7i)z−16+8i 3 g(z)=z+2−2i. Partie A 1.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexesz vérifiantg(z)=0. Représenter les points dont les affixes sont les nombres trouvés et démontrer que ces points forment un triangle équilatéral. 2.Démontrer qu’il existe un, et un seul, réelr, que l’on déterminera, qui vérifie f(r)=0. Déterminer les deux nombres complexesaetbde façon à avoir ¡ ¢ 2 f(z)=(z−r)z+a z+bpour toutzdeC. 3.Résoudre l’équationz∈C,f(z)=0. Démontrer que les points dont les affixes sont les solutions de cette équation forment un triangle rectangle dans le plan P. 4.A, B, C sont les points de P dont les affixes respectives sont−1+3i, 1+i,−4. Déterminer l’affixe du barycentre G des points A, B, C affectés respectivement des coefficients 4 ; 3 ; 5. 5.On désigne parhl’application de P versRqui à tout pointMde P associe le réel −−→−−→−−→−−→−−→−−→ MA∙MB+2MB∙MC+3MC∙MA . 2 Calculerh(C). Exprimerh(M) en fonction dekMGketh(G). Déterminer et dessiner l’ensemble des pointsMde P qui vérifienth(M)=18.
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Terminale C
Partie B ′ À tout pointMde P d’affixezon associe le pointMde P d’affixe
f(z)−g(z).
A. P. M. E. P.
³ ´ ¡ ¢ −→−→ ′ ′′ 1.Déterminer les coordonnéesx;ydeMdans le repèreO,u,ven fonc tion des coordonnées (x;y) deMdans le même repère. 2.A, B, C sont les points définis en A 4. Donner une équation de l’ensembleH1 ′ des pointsMde P tels que O, B etMsoient alignés. Démontrer que H1est une hyperbole dont on précisera le centre et les asymptotes. ′ 3.Donner une équation de l’ensembleH2des pointsMde P tels que O, I etM soient alignés, I étant le centre de gravité de A, B, C. Démontrer queH2est une hyperbole dont on précisera le centre et les asymp totes : on pourra, par exemple, donner une équation deH2sous la forme y = cI> (x). . ′ 4.Démontrer qu’un pointMest commun àH1etH2si, et seulement si,Mest confondu avec O. Résoudre l’équation
z∈C,f(z)=g(z). En déduire les points communs àH1etH2. ³ ´ −→−→ ConstruireH1etH2dans le repèreO,u,v. Partie C Un mobile du plan P a son affixez(t) donnée, en fonction du tempstpar
z(t)=f(t.i)+10−6i, quandtdécrit l’intervalle [0 ; 2] deR. On noteraM(t) le point correspondant à l’ins tantt. ³ ´ −→−→ 1.Déterminer les coordonnées (x(t) ;y(t)) deM(tO,) dans le repèreu,v, ³ ´ −→−→ ainsi que les coordonnées dans la baseu,vdes vecteurs vitesse et accélé ration du mobile à l’instantt. 2.Faire un tableau indiquant les variations dexet deyen fonction det. 3.Construire les points de la trajectoire du mobile correspondant aux valeurs : 1 27 0, , ,1, ,2 du réeltet un vecteur directeur des tangentes à la trajectoire 2 34 2 7 pour les valeurs 0,, ,2 det. 3 4 4.Déduire de ce qui précède le tracé de la trajectoire du mobile, en indiquant le sens du parcours, quandtdécrit [0 ; 2].
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