Baccalauréat C groupe juin
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Français
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1983
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C groupe 1 juin 1983 \ EXERCICE 1 3 POINTS Dans l'espace affine euclidien E de dimension 3, on donne deux points fixes A et B . Déterminer l'ensemble (S) des couples (P, Q) deE 2 qui vérifient les deux conditions : ??? AB + ??? AP + ??? AQ = ??0 et ? ? ? ??? AB ? ? ? 2 + ??? AP .???AQ = 0. EXERCICE 2 3 POINTS 1. Résoudre dans Z3 le système { x +2y +3z = 4, 5x +6y +7z = 8. 2. Démontrer qu'il existe un et une seul triplet deZ3, solution du système précé- dent, tel que : x3+ y3+ z3 = 1051. PROBLÈME 3 POINTS Partie I On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : f (x)= ? ? ? ? 1+ x 1? x ? ? ? ? 1 2 . 1. Préciser l'ensemble de définition de f qu'on notera D. Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur D. 2. Dans un plan rapporté à un repère orthonormé R, l'unité de distance étant 2 cm, dessiner la courbe représentative F de f .
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[ Baccalauréat C groupe 1 juin 1983 \ EXERCICE 1 3 POINTS Dans l'espace affine euclidien E de dimension 3, on donne deux points fixes A et B . Déterminer l'ensemble (S) des couples (P, Q) deE 2 qui vérifient les deux conditions : ??? AB + ??? AP + ??? AQ = ??0 et ? ? ? ??? AB ? ? ? 2 + ??? AP .???AQ = 0. EXERCICE 2 3 POINTS 1. Résoudre dans Z3 le système { x +2y +3z = 4, 5x +6y +7z = 8. 2. Démontrer qu'il existe un et une seul triplet deZ3, solution du système précé- dent, tel que : x3+ y3+ z3 = 1051. PROBLÈME 3 POINTS Partie I On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : f (x)= ? ? ? ? 1+ x 1? x ? ? ? ? 1 2 . 1. Préciser l'ensemble de définition de f qu'on notera D. Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur D. 2. Dans un plan rapporté à un repère orthonormé R, l'unité de distance étant 2 cm, dessiner la courbe représentative F de f .
- constantes sur ∆
- courbe représentative
- solution du système précé- dent
- ??? ab
- intervalle ouvert
[Baccalauréat C groupe 1 juin 1983\
EX E R C IC E1 3P O IN TS Dans l’espace affine euclidienEde dimension 3, on donne deux points fixesAetB. 2 Déterminer l’ensemble (S) des couples (P,Q) deEqui vérifient les deux conditions : 2 −−→−→−−−→→−→−→→−− AB+AP+AQ=0 et°AB°+AP.AQ=0.
EX E R C IC E2 3P O IN TS 3 1.Résoudre dansZle système ½ x+2y+3z=4, 5x+6y+7z=8. 3 2.Démontrer qu’il existe un et une seul triplet deZ, solution du système précé dent, tel que :
3 3 3 x+y+z=1 051.
PR O B L È M E3P O IN TS Partie I On considère la fonction numériquefde la variable réellexdéfinie par : 1 1+x 2 f(x)=. ¯ ¯ 1−x 1.Préciser l’ensemble de définition defqu’on noteraD. Étudier la continuité et la dérivabilité defsurD. 2.Dans un plan rapporté à un repère orthonorméR, l’unité de distance étant 2 cm, dessiner la courbe représentativeFdef. 2 3.Démontrer que, pour tout couple (x,y)∈Dtel quex y+16=0,fsatisfait la propriété µ ¶ x+y f(x)∙f(y)=f. (P) 1+x y Partie II On considère maintenant le fonction numériquegde la variable réellexdéfinie par : 1 2 1−x g(x)=. ¯¯ 1+x 1.Préciser l’ensemble de définition degqu’on noteraD1. Déduire brièvement de I la continuité et le dérivabilité degsurD1. 2 2.Démontrer que, pour tout couple (x,y)∈Dtel quex y+16=0,gsatisfait la 1 propriété (P). 3.Dessiner la courbe représentativeGdegdans le même plan rapporté au re pèreRqueF.
Le baccalauréat de 1983
A. P. M. E. P.
4.Dans ce plan, on appelleAl’ensemble des pointsMdont les coordonnées (x;y) sont telles que :
06x61−ǫ (oùǫest un réel strictement positif et inférieur à 1) et
g(x)6y6f(x). Calculer l’aireA(ǫ) deA(on raisonnera surf−g). A(ǫ) admetelle une limite lorsqueǫtend vers 0 ? Partie III Dans cette partie, on appelleΔl’intervalle ouvert ]−1 ; 1[. 1.yétant fixé dansΔ, étudier la fonctionudéfinie surΔpar : x+y u(x)=. 1+x y 2.On se propose de déterminer l’ensemble des fonctionsϕdéfinies surΔ, qui sont continues surΔet dérivables en zéro et qui vérifient pour tout couple (x;y) éléments deΔ, la relation µ ¶ x+y ϕ(x)ϕ(y)=ϕ. (P) 1+x y a.Justifier l’écriture (P). b.Rechercher s’il existe des fonctionsϕconstantes surΔ. Dans toute la suite, on suppose queϕn’est pas le fonction nulle surΔ. c.Montrer queϕ(0)=1. d.Montrer queϕne peut s’annuler surΔet que, pour toutxdeΔ, on a 1 ϕ(−x)=. ϕ(x) 3. a.xetyappartenant àΔ, montrer qu’il existe un réelhtel que :
ϕ(x)ϕ(y)=ϕ(x+h).
b.Réciproquement,xetx+hétant donnés dansΔ, montrer qu’il existey dansΔtel que :
ϕ(x)ϕ(y)=ϕ(x+h).
(On pourra utiliser le 1. Déterminery. c.On supposehnon nul, exprimer le rapport
ϕ(x+h)−ϕ(x) ρ= h au moyen dexet deydéterminé au III. 3. b.. d.Montrer queϕest dérivable en tout pointxdeΔ. On rappelle queϕest ′ supposée dérivable en zéro (on poseraϕ(0)=C). En conclure que les fonctionsϕsont telles que pour toutxdeΔ:
Baccalauréat C groupe 1
′ ϕ(x)C =. 2 ϕ(x) 1−x
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juin 1983
Le baccalauréat de 1983
A. P. M. E. P.
4. a.Démontrer qu’il existe deux réelsmetntels que, pour toutxdifférent de 1 et de−1 : 1m n = +. 2 1−x1−x1+x b.Déterminer alors toutes les fonctionsϕ. c.Peuton trouver des fonctionsϕnon constantes vérifiant les conditions du 2° sur les intervalles ]−1 ; 1[, ]−1 ; 1], [−1 ; 1] ? Pouvaiton prévoir le résultat ?
Baccalauréat C groupe 1
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