Baccalauréat C groupe juin
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C groupe 1 1 juin 1984 \ EXERCICE 1 5 POINTS Soit z0 = cos 2pi5 + isin 2pi 5 . 1. On pose ?= z0+ z40 et ?= z20 + z30 . a. Montrer que 1+z0+z20+z30+z40 = 0 et en déduire que? et? sont solutions de l'équation (1) X 2+X ?1= 0. b. Déterminer ? en fonction de cos 2pi5 . c. Résoudre l'équation (1) et en déduire la valeur de cos 2pi5 . 2. On appelle A0, A0, A0, A0, A0 les points d'affixes respectives 1, z0, z20 , z30 , z40 dans le plan affine rapporté au repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) . a. Soit H le point d'intersection de la droite A1A4 avec l'axe ( O, ??u ) .Montrer que OH= cos 2pi5 . b. Soit C le cercle de centre ? d'affixe ( ? 1 2 ) passant par B d'affixe (i). Ce cercle coupe l'axe ( O, ??u ) en M et N. (On appellera M le point d'abscisse positive). Montrer que OM=?, ON=? et que H est le milieu de [OM].
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[ Baccalauréat C groupe 1 1 juin 1984 \ EXERCICE 1 5 POINTS Soit z0 = cos 2pi5 + isin 2pi 5 . 1. On pose ?= z0+ z40 et ?= z20 + z30 . a. Montrer que 1+z0+z20+z30+z40 = 0 et en déduire que? et? sont solutions de l'équation (1) X 2+X ?1= 0. b. Déterminer ? en fonction de cos 2pi5 . c. Résoudre l'équation (1) et en déduire la valeur de cos 2pi5 . 2. On appelle A0, A0, A0, A0, A0 les points d'affixes respectives 1, z0, z20 , z30 , z40 dans le plan affine rapporté au repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) . a. Soit H le point d'intersection de la droite A1A4 avec l'axe ( O, ??u ) .Montrer que OH= cos 2pi5 . b. Soit C le cercle de centre ? d'affixe ( ? 1 2 ) passant par B d'affixe (i). Ce cercle coupe l'axe ( O, ??u ) en M et N. (On appellera M le point d'abscisse positive). Montrer que OM=?, ON=? et que H est le milieu de [OM].
- cercle
- point d'intersection de la droite a1a4 avec l'axe
- points d'affixes respectives
- cercle de centre ? d'affixe
1 [juin 1984Baccalauréat C groupe 1\
EX E R C IC E1 5P O IN TS 2π2π Soitz0=cos+.i sin 5 5 4 23 1.On poseα=z0+zetβ=z+z. 0 00 2 3 4 a.Montrer que 1+z0+z+z+z=0 et en déduire queαetβsont solutions 0 0 0 2 de l’équation (1)X+X−1=0. 2π b.Déterminerαen fonction de cos. 5 2π c.Résoudre l’équation (1) et en déduire la valeur de cos. 5 2 3 4 2.On appelle A0, A0, A0, A0, A0les points d’affixes respectives 1,z0,z,z,zdans 0 0 0 ³ ´ −→−→ le plan affine rapporté au repère orthonorméO,u,v. ³ ´ −→ a.Soit H le point d’intersection de la droite A1A4avec l’axeO,u. Montrer 2π que OH=cos . 5 µ ¶ 1 b.SoitCle cercle de centreΩd’affixe−passant par B d’affixe (i). Ce 2 ³ ´ −→ cercle coupe l’axeO,uen M et N. (On appellera M le point d’abscisse positive). Montrer que OM=α, ON=βet que H est le milieu de [OM]. c.En déduire une construction simple du pentagone régulier dont on connaît le centre O et un sommet A0.
EX E R C IC E2 5P O IN TS ³ ´ −→−→ Le plan P est rapporté à un repère orthonorméO,ı,. Soit (E) l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x;y) vérifient l’équation
2 2 15x+13y−2x y3=768 et soitfl’application de P dans P qui à un point M de coordonnées (x;y) associe ¡ ¢ ′ ′′ M decoordonnéesx;ytel que 1¡p¢ ′ x=x+y3 4 1¡ ¢ ′ y= −3x+y 4 1.Montrer quefest une similitude plane directe que l’on caractérisera. Déter −1 minerf. 2.Déterminer une équation de (f(E)) et montrer que (f(E)) est une ellipse dont on précisera les sommets, les foyers, et l’excentricité. 3.En déduire que (E) est l’ensemble des points M du plan tels que ′ ′ MF116 où F+MF =1et Fsont deux points que l’on déterminera. 1 1
PR O B L È M E
1. Amiens,Rouen
Partie A
10P O IN TS
Le baccalauréat de 1984
A. P. M. E. P.
On considère l’équation différentielle ′ y(x)−y(x)=x+2 (E) 1.Déterminer une fonction affineasolution de (E). 2.Montrert que siyest solution de (E), alorsy−aest solutionn d’une équation différentielle homogène du premier ordre. La résoudre. 3.Déterminer toutes les solutions de (E). Partie B Soitfla fonction numérique définie surRpar x f(x)=e−x−3. 1.Étudier les variations de la fonctionf. ³ ´ −→−→ 2.Soit (C) la courbe représentative defO,dans un repère orthonorméı,. a.Montrer que (C) admet une asymptote D dont on précisera l’équation. Préciser la position de la courbe (C) par rapport à cette asymptote. b.Construire (C) (unité : 2 cm). 3.Déterminer l’aireA(α) du domaine limité par (C), D et les droites d’équation x=0 etx=α, avecα<0. Calculer lim. α→−∞ 4.Soitf1la restriction defà l’intervalle I = [0 ;+∞[. a.Montrer quef1est une bijection de I sur un intervalle J que l’on préci sera. −1 b.Étudier la continuité et la dérivabilité def. Construire sa courbe re 1 ³ ´ −→−→ ′ présentative (CO,) dans le repèreı,. c.Montrer que l’équationf1(x)=0 admet une solution unique que l’on encadrera par deux entiers consécutifs. Partie C
Soitgla fonction définie par
g(x)=ln(x+3). 1.Étudier les variations deget construire sa courbe représentative dans un re père orthonormé∙ (unité : 2 cm). 2.Soit (un) la suite définie par ½ u0=1 un+1=ln (un+3)∀n∈N. a.En utilisant la croissance deg, étudier le sens de variation de la suite (un). b.Montrer que la suite (un) est majorée par 2. c.En déduire que cette suite est convergente. Soitℓsa limite. 3.Soit (vn) la suite définie par ½ v0=2 vn+1=ln (vn+3)∀n∈N.
Amiens, Rouen
2
juin 1984
Le baccalauréat de 1984
A. P. M. E. P.
a.En utilisant la croissance deg, étudier le sens de variation de la suite (vn). b.Montrer que la suite (vn) est minorée par 1. ′ c.En déduire que cette suite est convergente. Soitℓsa limite. ′ 4.Montrer queℓ=ℓ. a.Montrer que Z vn−1 1 ∗ ∀n∈N,vn−un=dt. un−1t+3 b.Montrer que 1 ∀n∈N, 06vn−un6. n 4 −3 c.En déduire une valeur approchée deℓprès.à 10
Amiens, Rouen
3
juin 1984
