Baccalauréat C groupe juin
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C groupe 2 1 juin 1981 \ EXERCICE 1 4 POINTS 1. En utilisant l'algorithme d'Euclide : a. Montrer que 1981 et 1815 sont premiers entre eux. b. Déterminer deux entiers relatifs a et b tels que 1981a+1815b = 1. 2. En déduire que dans Z/1981Z, 1815 admet un inverse que l'on déterminera. 3. Résoudre alors dans Z/1981Z l'équation 1815x+1515 = 732. N.B.- n désigne la classe de l'entier n dans l'ensemble Z/1981Z. EXERCICE 2 4 POINTS Soit P un plan affine euclidien rapporté au repère ( O, ??ı , ??? ) orthonormé direct. Soit f l'application de P dans P qui à tout point M de coordonnées (x ; y) dans le repère ( O, ??ı , ??? ) , associe la point M ? de coordonnées (x? ; y ?) tel que ? ? ? ? ? ? ? x? = 1 2x+ p3 2 y y ? = p3 2 x+ 1 2 y 1. a. Montrer que f est bijective et déterminer l'ensemble des points inva- riants par f . b. Déterminer l'ensemble des points M de P tels que O, M , M ? soient ali- gnés.
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[ Baccalauréat C groupe 2 1 juin 1981 \ EXERCICE 1 4 POINTS 1. En utilisant l'algorithme d'Euclide : a. Montrer que 1981 et 1815 sont premiers entre eux. b. Déterminer deux entiers relatifs a et b tels que 1981a+1815b = 1. 2. En déduire que dans Z/1981Z, 1815 admet un inverse que l'on déterminera. 3. Résoudre alors dans Z/1981Z l'équation 1815x+1515 = 732. N.B.- n désigne la classe de l'entier n dans l'ensemble Z/1981Z. EXERCICE 2 4 POINTS Soit P un plan affine euclidien rapporté au repère ( O, ??ı , ??? ) orthonormé direct. Soit f l'application de P dans P qui à tout point M de coordonnées (x ; y) dans le repère ( O, ??ı , ??? ) , associe la point M ? de coordonnées (x? ; y ?) tel que ? ? ? ? ? ? ? x? = 1 2x+ p3 2 y y ? = p3 2 x+ 1 2 y 1. a. Montrer que f est bijective et déterminer l'ensemble des points inva- riants par f . b. Déterminer l'ensemble des points M de P tels que O, M , M ? soient ali- gnés.
- nature de la branche infinie
- rotation de centre m2
- allure de la courbe représentative
- tangente au point d'abscisse
- repère orthonormé
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Français
1 [Baccalauréat C groupe 2juin 1981\
EX E R C IC E1 4P O IN TS 1.En utilisant l’algorithme d’Euclide : a.Montrer que 1 981 et 1 815 sont premiers entre eux. b.Déterminer deux entiers relatifsaetbtels que 1981a+1 815b=1. 2.En déduire que dansZ/1 981Z, 1815 admet un inverse que l’on déterminera. 3.Résoudre alors dansZ/1 981Z815l’équation 1x+1 515=732. N.B.ndésigne la classe de l’entierndans l’ensembleZ/1 981Z.
EX E R C IC E2 4P O IN TS ³ ´ −→−→ SoitPO,un plan affine euclidien rapporté au repèreı,orthonormé direct. Soitfl’application dePdansPqui à tout pointMde coordonnées (x;y) dans le ³ ´ ¡ ¢ −→−→ ′ ′′ repère O,ı,, associe la pointMde coordonnéesx;ytel que 1 3 ′ x=x+y 2 2 3 1 ′ y=x+y 2 2 1. a.Montrer quefest bijective et déterminer l’ensemble des points inva riants parf. ′ b.Déterminer l’ensemble des pointsMdePtels que O,M,Msoient ali gnés. 2.On désigne parM1etM2les projections orthogonales du pointMrespective ³ ´³ ´ −→−→ ′ ment sur les droitesO,ıet O,. Montrer queMest le transformé deM1 dans une rotation de centreM2dont on déterminera une mesure de l’angle.
PR O B L È M E
12P O IN TS
Partie A Pour tout entier natureln, non nul, on considère la fonctionfndéfinie sur [0 ;+∞[ par ½ n xlogxsix>0 fn(x)= 0 six=0. 1.Étudier les fonctionsf1etf2et construire leur représentation graphique res ³ ´ −→−→ pective (C1) et (C2) dans un repère orthonormé du planO,ı,(on pren dra 4 cm pour unité de longueur). Préciser la position relative de (C1) et (C2). 2.Prouver que, pour toutn,fnest intégrable sur [0 ; 1]. On définit, alors, la suite par (un)n∈N ⋆ Z 1 ⋆ ∀n∈N,un=fn(x) dx. 0 3. a.À l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive defnsur ]0 ; 1]. 1. Amiens
Le baccalauréat de 1981
A. P. M. E. P.
b.En déduire une primitive defnsur [0 ; 1]. 1 c.Montrer queun= −et déterminerlimun. 2 n→+∞ (n+1) d.Soit D le sousensemble du plan constitué des pointsMdont les coor ³ ´ −→−→ données (x;y) dansO,ı,vérifient 06x61 etf1(x)6y6f2(x). Calculer, en centimètres carrés, l’aire de D. Partie B Soitgla fonction, définie sur [0 ;+∞[ par xlogx six>0 2 g(x)= x+1 0 six=0. 1.Montrer quegest intégrable sur [0 ; 1]. 2.Soitxun réel quelconque. a.Calculer pour toutndeNla somme
3 5n2n+1 x−x+x−x7+ ∙ ∙ ∙ +(−1)×x. b.En déduire que 2n+3 x x 3n2n+1n+1 ∀n∈N,=x−x+ ∙ ∙ ∙ +(−1)×x+(−1) . 2 2 1+x1+x 3.En déduire que
Z Z 1 1 f2n+3(x) n n+1 ∀n∈N,g(x) dx=u1−u3+ ∙ ∙ ∙ +(−1)u2n+1+(−1) dx. 2 0 01+x 4.On pose pour toutndeN,
n Sn=u1−u3+ ∙ ∙ ∙ +(−1)u2n+1. Z 1 a.Prouver que∀n∈Ng(x) dx−Sn6−u2n+3. ¯¯ 0 Z 1 b.En déduire quelimSn=g(x) dx. n→+∞ 0 c.Déterminer un entiern0tel que Z 1 −2 g(x) dx−Sn0610 . ¯¯ 0 Z 1 −2 En déduire une valeur approchée à 10près deg(x) dx. 0 Partie C
SoitGla fonction définie sur [0 ;+∞[ par Z x G(x)=g(t) dt. 0 1.Étudier la dérivabilité deGet son sens de variation. 1 11 2. a.Montrer que∀t∈R,t>1,6 6. 2 22 2t t+1t
AixMarseille
2
juin 1981
Le baccalauréat de 1981
A. P. M. E. P.
b.En déduire que Z Z x x 1 logtlogt ∀x∈R,x>1, dt6G(x)6dt. 21t1t Z x logt c.Calculer pour toutx>1, dt. 1t G(x) d.Déduire de ce qui précèdelimG(xlim .(On pourra poser) et x→+∞x→+∞ x X=x.) 3.Donner l’allure de la courbe représentative deG. Préciser la tangente au point d’abscisse 1 et la nature de la branche infinie. La courbe atelle une tangente au point d’abscisse 0 ? N. B. Pour obtenir une valeur approchée deG(0) on utilisera B 4. c. Pour obtenir une valeur approchée deG(2) on utilisera l’encadrement obtenu au C 2.
AixMarseille
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juin 1981
