Baccalauréat C Étranger groupe 2 1
3
pages
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
3
pages
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Publié par
Nombre de lectures
45
Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Étranger groupe 2 1 \ septembre 1992 EXERCICE 1 4 points Soit (un ) et (vn) les suites définies pour tout entier naturel n par : u0 = 9, un+1 = 12un ?3 et vn = un +6. 1. a. Montrer que (vn) est une suite géométrique à termes positifs. b. Calculer la somme Sn = n ∑ k=0 vk en fonction de n et en déduire la somme S ?n = n ∑ k=0 uk en fonction de n. Déterminer lim n?+∞ Sn et limn?+∞S ? n . 2. On définit la suite (wn) par wn = lnvn pour tout entier n. Montrer que (wn) est une suite arithmétique. Calculer S ??n = n ∑ k=0 wk en fonction de n et déterminer limn?+∞S ?? n . 3. Calculer le produit Pn = v0 · v1 · · · ·vn en fonction de n. En déduire lim n?+∞ Pn . EXERCICE 2 4 points Dans un plan euclidien orienté, on considère quatre points A, B, C, D ne formant pas un trapèze. Les droites (AD) et (BC) se coupent en I. les droites (AB) et (DC) se coupent en J.
Voir
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Étranger groupe 2 1 \ septembre 1992 EXERCICE 1 4 points Soit (un ) et (vn) les suites définies pour tout entier naturel n par : u0 = 9, un+1 = 12un ?3 et vn = un +6. 1. a. Montrer que (vn) est une suite géométrique à termes positifs. b. Calculer la somme Sn = n ∑ k=0 vk en fonction de n et en déduire la somme S ?n = n ∑ k=0 uk en fonction de n. Déterminer lim n?+∞ Sn et limn?+∞S ? n . 2. On définit la suite (wn) par wn = lnvn pour tout entier n. Montrer que (wn) est une suite arithmétique. Calculer S ??n = n ∑ k=0 wk en fonction de n et déterminer limn?+∞S ?? n . 3. Calculer le produit Pn = v0 · v1 · · · ·vn en fonction de n. En déduire lim n?+∞ Pn . EXERCICE 2 4 points Dans un plan euclidien orienté, on considère quatre points A, B, C, D ne formant pas un trapèze. Les droites (AD) et (BC) se coupent en I. les droites (AB) et (DC) se coupent en J.
- sin2 u2
- plan euclidien
- v0 ·
- cosx ?1
- limite de cosx ?1
- ??
- centre de la similitude directe
Publié par
Durée : 4 heures
1 [Baccalauréat C Étranger groupe 2\ septembre 1992
EX E R C IC E1 Soit (un) et (vn) les suites définies pour tout entier naturelnpar : 1 u0=9,un+1=un−3 etvn=un+6. 2
4 points
1. a.Montrer que (vn) est une suite géométrique à termes positifs. n X b.Calculer la sommeSn=vken fonction denet en déduire la somme k=0 n X ′ S=uken fonction den. n k=0 ′ S Déterminer limSnet limn. n→+∞n→+∞ 2.On définit la suite (wn) parwn=lnvnpour tout entiern. Montrer que (wn) est une suite arithmétique. n X ′′ ′′ éterminer limS. CalculerSn=wken fonction denet dn n→+∞ k=0 3.Calculer le produitPn=v0∙v1∙ ∙ ∙ ∙vnen fonction den. En déduirelimPn. n→+∞
EX E R C IC Epoints2 4 Dans un plan euclidien orienté, on considère quatre points A, B, C, D ne formant pas un trapèze. Les droites (AD) et (BC) se coupent en I. les droites (AB) et (DC) se coupent en J. 1.Soit O le centre de la similitude plane directeStelle queS(A) = B etS(D) = C. ³ ´ −→−−→−→−→ a.OA , ODDémontrer que=(OB ,OC )+2kπ,k∈N. OC OD b.Demontrer que=. OB OA ′ ′ En déduire que O est le centre de la similitude directeStelle queS(A) = ′ D etS(B) = C. ′ 2.En utilisant les similitudesSetS, démontrer que les cercles circonscrits aux quatre triangles IAB, IDC, JAD et JBC ont le point O en commun.
PR O B L È M E
Partie 1 On désigne pargla fonction numérique définie sur [0 ;π] par
12 points
g(x)=xcosx−sinx. Étudierget dresser son tableau de variation. En déduire le signe deg(x) sur [0 ;π].
1. Algérie,Djibouti, Gabon, Mali, Maroc, Sénégal
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
Partie 2 Soitfla fonction numérique de la variable réellexdéfinie sur [0 ;π] par : ( f(0)=1 sinx f(x)=six∈]0 ;π] x 1.Démontrer quefest continue sur [0 ;π]. 2.Étudier les variations defsur ]0 ;π]. Tracer la courbe représentative defsur [0 ;π] dans le plan rapporté à un repère orthonormé. (On admettra que le nombre dérivé defen zéro est zéro.) h i π2 3.En déduire que pourxa; onde 06f(x)61. 2π Partie 3 On se propose d’étudier la fonction définie sur [0 ;π] par : Z π F(x)=f(t) dt. x (On ne cherchera pas à calculer une primitive def.) Z π 1.Justifier l’existence def(t) dt. 0 2. a.En utilisant la question II. 3., démontrer que pour 0<x6π, on a : Z µ¶ π 2 2xsint 2 −62 dt. 2x π πt 2 b.Calculer la valeur enπdes fonctions définies sur ]0 ;π] respectivement par : Z µ¶ Z π 2π sint2u 2 2 x→−7dtetx→7−sin du, x2 txu2 2 puis calculer leur fonction dérivée. En déduire l’égalité des deux fonctions. c.Déduire de 2. a. et b. que : Z π 2 2x2uπ 2 −6sin du6. 2 2 π πxu2 2 3. a.En prenantt→7−1−costcomme primitive det7−→sintet en intégrant par parties, démontrer que pour toutxde ]0 ;π] : Z Z π π sint2 cosx−1 1−cost dt+= +dt. 2 xtπxxt cosx−1 b.lorsqueCalculer la limite dextend vers 0. x c.Démontrer que : Z Z π π 1−cost2t 2 dt=sin dt. 2 2 xtxt2 d.En déduire que : Z π 4 2xcosx−1 sintπ2 cosx−1 − +6dt6+ +. 2 π πxxt2πx
Étranger groupe 2
2
septembre 1992
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
e.En déduire que : Z π 4 2π 6f(t) dt6+. π0π2 4. a.Dresser le tableau de variations deFsur [0 ;π]. b.Donner l’allure de la courbe représentative de la fonctionFdans un plan rapporté à un repère orthonormé.
Étranger groupe 2
3
septembre 1992
